线C交于A，B两点，若P?2,2?为AB的中点，则抛物线C的方程为 。 【答案】y2?4x
【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，x1?x2＝k＝2×2，故y2?4x.
21.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为o6 2【答案】：6 2?【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是b,c(b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得
b?tan30?，所以c?3b，c所以a?2b，离心率e?c36 ??a22x2y222.（2009年上海卷理）已知F1、F2是椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点，P为
ab椭圆C上一点，且PF1F2的面积为9，则b=____________. 1?PF2.若?PF【答案】3
?|PF1|?|PF2|?2a?【解析】依题意，有?|PF1|?|PF2|?18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
?222?|PF1|?|PF2|?4cx2y223.（2009上海卷文）已知F1、F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点，p为椭圆Cabb? . 上的一点，且PF1F2的面积为9，则1?PF2。若?PF【答案】3
?|PF1|?|PF2|?2a?【解析】依题意，有?|PF1|?|PF2|?18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
?222?|PF1|?|PF2|?4c
三、解答题
1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为
3,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上2一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2?y2?2kx?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak. (1)求椭圆G的方程 (2)求?AkF1F2的面积
(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由.
x2y2【解析】（1）设椭圆G的方程为：2?2?1 （a?b?0）半焦距为c;
ab?2a?12??a?6?222 则?c , ?b?a?c?36?27?9 3 , 解得???c?33??2?ax2y2??1. 所求椭圆G的方程为：
369(2 )点AK的坐标为??K,2? SVAKF1F2?
21世纪教育网11?F1F2?2??63?2?63 2222（3）若k?0，由6?0?12k?0?21?5?12kf0可知点（6，0）在圆Ck外，
22 若k?0，由(?6)?0?12k?0?21?5?12kf0可知点（-6，0）在圆Ck外；
?不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.
2.（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．．
如图，已知抛物线E:y?x与圆M:(x?4)?y?r(r?0)相交于A、B、C、D四个点。
（I）求r得取值范围；
（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P坐标
分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线E:y?x与圆M:(x?4)?y?r(r?0)的方程
2联立，消去y，整理得x?7x?16?r?0．．．．．．．．．．．．．（＊）
2222222222
抛物线E:y2?x与圆M:(x?4)2?y2?r2(r?0)相交于A、B、C、D四个点的充
要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得r?(函数和方程的思想来处理也可以．
15,4).考生利用数形结合及2（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的
方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为A(x1,x1)、B(x1,?x1)、C(x2,?x2)、D(x2,x2)。 则由（I）根据韦达定理有x1?x2?7,x1x2?16?r2，r?(则S?15,4) 21?2?|x2?x1|(x1?x2)?|x2?x1|(x1?x2) 2?S2?[(x1?x2)2?4x1x2](x1?x2?2x1x2)?(7?216?r2)(4r2?15)
令16?r2?t，则S2?(7?2t)2(7?2t) 下面求S的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时
很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。
21S2?(7?2t)2(7?2t)?(7?2t)(7?2t)(14?4t)
217?2t?7?2t?14?4t31283)??() ?(2323 当且仅当7?2t?14?4t，即t?715,4)满足题意。 时取最大值。经检验此时r?(62方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。 下面来处理点P的坐标。设点P的坐标为：P(xp,0) 由A、P、C三点共线，则以下略。
x1?x2x17?得xp?x1x2?t?。
x1?x2x1?xp6y2x23.（2009浙江理）（本题满分15分）已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的右顶点为A(1,0)，
ab过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1． （I）求椭圆C1的方程；
（II）设点P在抛物线C2：y?x2?h(h?R)上，C2在点P处
的切线与C1交于点M,N．当线段AP的中点与MN的中 点的横坐标相等时，求h的最小值．
?b?12a?2?y?解析：（I）由题意得?b2,??,所求的椭圆方程为?x2?1，
4?2??1?b?1?a21世纪教育网（II）不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2?h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y?x?t?2t，
直线MN的方程为y?2tx?t2?h，将上式代入椭圆C1的方程中，得
4x2?(2tx?t2?h)2?4?0，即4?1?t2?x2?4t(t2?h)x?(t2?h)2?4?0，因为直线MN
422?t?2(h?2)t?h?4?与椭圆C1有两个不同的交点，所以有?1?16????0，
x1?x2t(t2?h)设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3?， ?22(1?t2)21世纪教育网设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4?t?1，由题意得x3?x4，即有t2?(1?h)t?1?0，2其中的?2?(1?h)2?4?0,?h?1或h??3；
422?t?2(h?2)t?h?4?当h??3时有h?2?0,4?h2?0，因此不等式?1?16????0不成
2立；因此h?1，当h?1时代入方程t?(1?h)t?1?0得t??1，将h?1,t??1代入不等式422?1?16??t?2(h?2)t?h?4????0成立，因此h的最小值为1．
4.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线C：x?2py(p?0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为
217． 4 （I）求p与m的值；
（II）设抛物线C上一点P的横坐标为t(t?0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于
点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．
解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：y??p，根据抛物线定义 2p171?，解得p? 242点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4??抛物线方程为：x2?y，将A(m,4)代入抛物线方程，解得m??2
（Ⅱ）由题意知，过点P(t,t)的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k。
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