26．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC， （1）求证：
；
（2）求∠EDF的度数．
27．如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE． （1）求证：△ABD∽△CED； （2）若AB=6，AD=2CD， ①求E到BC的距离EH的长． ②求BE的长．
28．如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F． （1）若AC=3，AB=4，求
；
（2）证明：△ACE∽△FBE；
（3）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．
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29．如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：（1）△ABD∽△ECA；（2）BC2=DB?CE．
30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=
，又E，D为CB的三等分点．
（1）证明：△ADE∽△BDA； （2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；
（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．
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相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案：
1．解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD， 且∠CDG=∠BAD， ∴∠ADG=∠B； ∵∠BAC=∠DAG， ∴△ABC∽△ADG， ∴
=
．
（2）∵∠BAC=∠DAG， ∴∠BAD=∠CAG； 又∵∠CDG=∠BAD， ∴∠CDG=∠CAG，
∴A、D、C、G四点共圆， ∴∠DAG+∠DCG=180°； ∵GC⊥BC， ∴∠DCG=90°，
∴∠DAG=90°，∠BAC=∠DAG=90°．
2．解：（1）如图，∵∠ACB=90°，CF⊥AD， ∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC， ∴△ACD∽△AFC， ∴
，
∴AC2=AF?AD．
（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴A、E、F、C四点共圆，
∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B， ∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B； ∵∠FAE=∠BAD， ∴△AEF∽△ADB， ∴AE：AD=BD：EF， ∴AE?DB=AD?EF．
3．解：（1）∵PB=PC， ∴∠B=∠PCB； ∵PC平分∠ACB，
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∴∠ACP=∠PCB，∠B=∠ACP， ∵∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB．
（2）∵△APC∽△ACB， ∴
，
∵AP=2，PC=6，AB=8， ∴AC=4．
∵AP+AC=PC=6，
这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾， ∴该题无解．
4．（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠C+∠ADE=180°， ∵∠BFE=∠C， ∴∠AFB=∠EDA， ∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED， ∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD， ∴∠ABE=90°，
∵AB=4，∠BAE=30°， ∴AE=2BE，
由勾股定理可求得AE=
5．证明：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠C， ∴BD=CD，
在△ABD和△ACB中，，
∴△ABD∽△ACB， ∴
=
，
即AB?BC=AC?BD， ∴AB?BC=AC?CD． 6．证明：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠ACB=90°， ∴∠A=∠B=45°， ∵∠ECF=45°，
∴∠ECF=∠B=45°，
∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，
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