2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章 8.5 圆与圆的位置关系及圆的应用 (含解析)

§8.5 圆与圆的位置关系及圆的应用

圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．

方法 位置关系 外离 外切 相交 内切 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|

1．两圆的公切线条数有几种情况．

提示 有5种情况．①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．

2．怎样得到两圆公共弦所在直线的方程？

提示 当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )

(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．

( × 题组二 教材改编

2．圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，则两圆的位置关系是________． 答案 相交

解析 圆C1：(x＋1)2＋y2＝1， 圆C2：x2＋(y＋2)2＝22，

所以C1C2＝5，且2－1<5<2＋1， 所以两圆相交．

3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋m＝0相切，则实数m的值为________．答案 －11或9

解析 圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋m＝0即(x＋3)2＋(y－4)2＝25－m， 表示以(－3,4)为圆心，以25－m为半径的圆．

由题意知，若两圆内切，则两圆的圆心距等于半径之差的绝对值， 可得5＝|25－m－1|，解得m＝－11. 若两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和， 可得5＝

25－m＋1，解得m＝9.

所以m＝9或－11. 题组三 易错自纠

)

4．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________． 答案 22

?x2＋y2－4＝0，?

解析 由?22

?x＋y－4x＋4y－12＝0，?

得两圆公共弦所在的直线方程为x－y＋2＝0. 又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为4－2＝2， 所以所求弦长为22.

5．两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________． 答案 3

解析 由题意知直线AB与直线x－y＋c＝0垂直， ∴kAB×1＝－1， 即

3－?－1?

＝－1，得m＝5， 1－m

2

＝2，由勾股定理得弦长的一半为2∴AB的中点坐标为(3,1)．

又AB的中点在直线x－y＋c＝0上， ∴3－1＋c＝0，∴c＝－2， ∴m＋c＝5－2＝3.

6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________． 答案 x2＋y2＝81

解析 设圆C的圆心为C(a,0)，半径为r，

22

则r2＝CC21＋1且r＝CC2＋9，

222????a－4?＋?－8?＋1＝r，?a＝0，即?解得?2 ??a－6?2＋62＋9＝r2，???r＝81.

所以圆C的方程为x2＋y2＝81.