1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
备课资料
一、近几年三角函数知识的变动情况
三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效),这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是8个公式,仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了.
我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢?又该怎样教?立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标. 1.是“三角”还是“函数”
应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有《三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年.但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的,所以,作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局,将三角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重. 从《代数学》的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容,那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能力”,1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以,三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的观点.
2.是“图象”还是“变换”
现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低这部分的要求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在“图象和性质”上,应当是正确的选择,负担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图
象和性质的关注上,这才是“三个有利于”得以贯彻的根本. 3.国外的观点及启示
下面来看一下美国和德国的观点:
美国没有全国统一的教材和《考试说明》,只有一个《课程标准》,在《课程标准》中,他们对三角函数提出了下面的要求:“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象;掌握三角函数图象;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上花费过多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂的恒等式就应该完全避免了.
德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容,10年级要求如下:(1)一个角的弧度;(2)三角函数sinx、cosx、tanx和它们的图象周期性;(3)三角形中角和边的计算;(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系).另外,在11年级和12年级的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限. 从以上罗列,我们可以看出下面的共同点: 第一,突出强调三角函数的图象和性质;
第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8公式根本不予介绍; 第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算; 第四,注意三角函数和其他知识的联系.
这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否还严谨?在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整?在一个小地方钻得太深,在另外更大的地方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别地方穷追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶段即试图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故. 二、备用习题 1.函数y=sin(
?-2x)的单调减区间是( ) 3?5?A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
12125?11?B.[4kπ-,4kπ+](k∈Z) 335?11?5??C.[kπ-,kπ+](k∈Z) D.[kπ?,kπ+](k∈Z) 121212121?2.满足sin(x-)≥的x的集合是( )
245?13?A.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
12127??B.{x|2kπ?≤x≤2kπ+,k∈Z}
12125??C.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
66D.{x|2kπ≤x≤2kπ+
5??,k∈Z}∪{x|2kπ+≤x≤(2k+1)π,k∈Z}
663.求下列函数的定义域和值域: (1)y=lgsinx;(2)y=2cos3x. 4.已知函数y=f(x)的定义域是[0,(1)f(cosx);(2)f(sinx-2
2
1],求下列函数的定义域: 41). 25.已知函数f(x)=log1|sinx-cosx|.
2(1)求出它的定义域和值域; (2)指出它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)求出它的周期.
2
6.若cosθ+2msinθ-2m-2<0恒成立,试求实数m的取值范围.
?x-)的单调增区间,以下甲、乙、丙有三种解法,请给予评判. 42?x同学甲:令t=sin(-),则y=lgt.
427.求函数y=lgsin(∵y=lgt是增函数,
∴原函数的单调增区间就是t=sin(又sinμ的增区间为[??x-)的增区间. 42??+2kπ,+2kπ](k∈Z), 22??x?∴?+2kπ≤-≤+2kπ(k∈Z),
24223??解得4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z).
223??∴原函数的增区间为[4kπ-,4kπ+](k∈Z).
22?x同学乙:令t=sin(-),则y=lgt.
42∵y=lgt是增函数,∴原函数的单调区间就是t的增区间.
?x?x-)=cos(+), 4242?x∴只需求出cos(+)的增区间.
42∵t=sin(
由于cosμ的增区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).
?x5??+≤2kπ?4kπ?≤x≤4kπ-(k∈Z). 42225??∴原函数的增区间为[4kπ?,4kπ-](k∈Z).
22∴2kπ-π≤
同学丙:令t=sin(
?x-),则y=lgt. 42∵y=lgt是增函数,
∴原函数的单调增区间是使t>0且t为增函数的x的范围.
?x?x-)=cos(+), 4242?x∴只需求出使t=cos(+)>0且t为增函数的x的区间.
423???x?于是有2kπ-<+≤2kπ?4kπ- 参考答案: 1.D 2.A 3.解:(1)由题意得sinx>0, ∴2kπ ??≤3x≤2kπ+,k∈Z. 222k??2k??-≤x≤+,k∈Z. 3366又∵0≤cosx≤1,∴0≤2cos3x≤2. 2k??2k??-,+],k∈Z,值域为[0,2]. 33661112 4.解:(1)由题意得0≤cosx≤,∴-≤cosx≤. 422故函数的定义域为[ 利用单位圆中的三角函数线或余弦函数图象,可得 x∈[kπ+ 2??,kπ+],k∈Z. 332 (2)由题意得0≤sinx- 322311≤,∴?≤sinx≤?或≤sinx≤. 222224∴x∈[kπ+ 2?3???,kπ+]∪[kπ+,kπ+],k∈Z. 34435.解:f(x)=log1|sinx-cosx|=log1|2sin(x-22?)|. 4(1)它的定义域应满足2sin(x-故定义域为{x|x≠kπ+ ???)≠0,x-≠kπ,x≠kπ+(k∈Z), 444?,k∈Z}. 4?∵|sinx-cosx|=|2sin(x-)|, 4∴0≤|sinx-cosx|≤2. 根据y=log1|t,t∈(0,+∞)是减函数,可知log1||sinx-cosx|≥log1|2=-2221, 2故值域为［- 1，+∞). 2(2)函数的单调增区间是［kπ- 3????,kπ+］(k∈Z),单调减区间是（kπ+,kπ+］ 4444(k∈Z). (3)由于其定义域关于原点不对称,所以此函数非奇非偶. (4)由于y=|sinx|的周期为π,故原函数的周期为π. 6.解:令sinθ=t,则-1≤t≤1. 要使cos2+2msinθ-2m-2<0恒成立,即sin2θ-2msinθ+2m+1>0恒成立. 设f(t)=t2-2mt+2m+1,则只要f(t)>0在[-1,1]上恒成立即可, 22 由于f(t)=(t-m)+2m+1-m(-1≤t≤1),所以只要f(t)的最小值大于零即可. 若m<-1,则当t=-1时,f(t)min=2+4m,令2+4m>0,得m>-2 2 1,这与m<-1矛盾,故舍去; 2若-1≤m≤1,则当t=m时,f(t)min=-m+2m+1,令-m+2m+1>0, 解得1-2 7.解:由于函数的单调区间是其定义域的子区间,该函数的定义域是使sin( ?x-)>0的x的42取值范围,甲、乙两名同学都没有考虑到定义域,因此其解法是错误的;同时,甲同学还有一处错误,即sinμ的增区间不是t的增区间(因为μ= ?x-中μ是自变量x的减函数).丙生42既考虑了函数的定义域,也考虑到将x的系数变为正数,其解法是正确的.
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