§2 共面向量定理

江苏省涟水中学2013-2014高二数学教学案

§2 共面向量定理

教学目的：1.掌握共面向量定理

2.会用定理证明一些共面，平行等问题

教学重难点：共面向量定理的应用 教学过程： 一、问题情境： 平面向量基本定理：

????注：（1）e1,e2叫平面内所有向量的一组基底

????????? （2）a用e1,e2表示称为向量的分解，当e1?e2时称为正交分解。

二、学生活动：

上述定理可推广到空间吗？是什么形式？

三、数学建构

1、共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量（或平行于同一平面的向

量）

注：两个向量一定共面，三个向量不一定共面

2、三个向量共面的条件：

????（1）若p与a,b共面，则由平面向量基本定理：存在唯一实数对x,y，

????使p?xa?yb

????（2）若存在唯一一对实数x,y，使p?xa?yb

??????????????????????在空间中一点M作MA?a,MB?b且作MA'?xa,MB'?yb，

????????则MP?xa?yb?p

?????P在面MAB内， ?p与a,b共面

3、共面向量定理：

????注：（1）p可用a,b线性表示

（2）作用：证明线面平行，证明点共面

???????????? （3）推论：点P在面MAB内充要条件是：存在x,y使MP?xMA?yMB

四、数学应用：

例1、课本如图。已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对

角线BD,AE上，且BM=

11BD,AN=AE.求证：MN//平面CDE. 33

注：（1）找向量关系，封闭图形 （2）尽量用面CDE中向量表示

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练习：P76 １ ３

????例2、如图，AB所在直线为AB，O为直线AB外一点，则P在直线AB上充要

????????????条件是：存在实数t，使OP?(1?t)OA?tOB

????????????????????????????P 证明：（1）若OP?(1?t)OA?tOB，则OP?OA?t(OB?OA) B ???????? ?AP?tAB

?A,B,P三点共线。

A

O

推广：设空间任意一点O和不共线三点A,B,C若点P满足向量关系

OP?xOA?yOB?zOC(其中x?y?z?1)，试问：P,A,B,C四点是否

共面？

????????PA?面ABCD,ABCD为矩形，M,N在PC,PD 上，练习：在四棱锥P-ABCD中，

?????????????????且PM:MC?2:1，N为PD中点。求满足MN?xAB?yAD?zAP的

x,y,z的值。

例3、设A，B，C及A，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而 1M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．

求证：M，N，P，Q四点共面．

练习:P74 2、4

→→→

练习：已知非零向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2，

求证：A、B、C、D共面．

五、课堂小结：

2

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§2 共面向量定理作业

班级 姓名 学号 得分

1、下列结论中，正确的个数是 个

??????①若a,b,c共面，则存在实数x,y对，使a?xb?yc

??????②若a,b,c不共面，则不存在实数x,y对，使a?xb?yc

????????③若a,b,c共面，b,c不共线，则存在实数x,y对，使a?xb?yc

??????④若a?xb?yc，则a,b,c共面

????????????????2、若对任一点O和不共线三点A,B,C，有OP?xOA?yOB?zOC，则

x?y?z?1是P,A,B,C共面的 条件 3、在下列条件中，使M与A,B,C一定共面的有

?????1????1????1?????????????????????1、OM?2OA?OB?OC 2、OM?OA?OB?OC

532????????????????????????????????3、MA?MB?MC?0 4、OM?OA?OB?OC?0 4、已知正方体ABCD?A'B'C'D'中，点F是侧面CD'的中心，若

????????????????AF?AD?mAB?nAA1，则m? ，n? 5、已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若

????1????2????????OP?OA?OB??OC，确定一点P与A,B,C共面，则??

536、已知P是?ABC所在平面外一点，M是PC的中点，若

?????????????????BM?xAB?yAC?zAP，则x? ，y? ，z?

7、已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外任一点O，确定在下列各条件下，

点P是否与A,B,M共面。

?????????????????（1）OB?OM?3OP?OA

?????????????????（2）OP?4OA?OB?OM

3

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8、已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，分别根据下列条件判断

点M是否与A,B,C共面？

?????1????1????1????（1）OM?OA?OB?OC

236?????????????????（2）OM?3OA?OB?OC

?????????????????（3）OM?2OA?OB?OC

9、已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三个向量共面，

求实数λ。

10、PA垂直于矩形ABCD，E,F分别是AB,PD中点，试判断AF与平面PCE的位置关系。

P

F AD

E

BC

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