【解析】（1）m?1,对函数y?f(x)求导,分别求出f(0)和f?(0),即可求出f(x)在点
(0,f(0))处的切线方程;
（2）对f(x)求导,分m?2、0?m?2和m?0三种情况讨论f(x)的单调性,再结合
f(x)?0在(0,??)上恒成立,可求得m的取值范围.
【详解】
xx（1）因为m?1,所以f(x)?e?2x?1,所以f?(x)?e?2,
?则f(0)?0,f(0)??1,故曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y??x.
x?x（2）因为f(x)?me?2x?m,所以f(x)?me?2,
①当m?2时,f?(x)?0在(0,??)上恒成立,则f(x)在(0,??)上单调递增, 从而f(x)?f(0)?0成立,故m?2符合题意; ②当0?m?2时,令f?(x)?0,解得0?x?ln2?2?,即f(x)在?0,ln?上单调递减,
m?m?则f?ln??2???f(0)?0,故0?m?2不符合题意; m?③当m?0时,f?(x)?mex?2?0在(0,??)上恒成立,即f(x)在(0,??)上单调递减,则f(x)?f(0)?0,故m?0不符合题意. 综上,m的取值范围为[2,??). 【点睛】
本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题. 22．已知函数f(x)?x?5x?2lnx. （1）求f(x)的极值；
（2）若f?x1??f?x2??f?x3?，且x1?x2?x3，证明：x1?x2?1. 【答案】（1）f(x)极大值为?29?2ln2；极小值为?6?2ln2；（2）见解析 4【解析】（1）对函数f(x)求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值; （2）构造函数F(x)?f(x)?f(1?x),x??0,??1??,求导并判断单调性可得F(x)?0,从2?第 16 页 共 18 页
?1??1?0,x?f(x)?f(1?x),而在??上恒成立再结合1?0,?,f?x2??f?x1??f?1?x1?,
?2??2?可得到x2?1?x1,即可证明结论成立. 【详解】
?（1）函数f(x)的定义域为?0,???,f(x)?2x?5?2(2x?1)(x?2)?(x?0), xx?1??1?所以当x??0,?U(2,??)时,f?(x)?0;当x??,2?时,f?(x)?0,
?2??2?则f(x)的单调递增区间为?0,?和(2,??),单调递减区间为???1?2??1?,2?. 2??故f(x)的极大值为f?19?1?15???2ln???2ln2;f(x)的极小值为?24?2?42f(2)?4?10?2ln2??6?2ln2.
（2）证明:由（1）知0?x1?1?x2?2?x3, 2??1??, 2?设函数F(x)?f(x)?f(1?x),x??0,22则F(x)?x?5x?2lnx???1?x??5?1?x??2ln?1?x??,
??(2x?1)(x?2)(2x?1)(x?1)2(2x?1)2F?(x)???,
x1?xx(1?x)则F?(x)?0在?0,?上恒成立,即F(x)在?0,?上单调递增,
??1?2???1?2?故F(x)?F??1??, ?2??1??1?f???0,则F(x)?f(x)?f(1?x)?0,x??0,?, ?2??2???1?2?又F??1??1??f????2???2?即f(x)?f(1?x)在?0,?上恒成立.
因为x1??0,??1??,所以f?x1??f?1?x1?, 2?又f?x2??f?x1?,则f?x2??f?1?x1?,
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?1??1?f(x)x,1?x?,2,因为2在?,2?上单调递减, 1??且
?2??2?所以x2?1?x1,故x1?x2?1. 【点睛】
本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题.
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