初中数学竞赛辅导 含答案
18、关于x的方程kx2?(k?1)x?1?0有有理根，求整数是的值。 (山东省竞赛题)
19、考虑方程(x2?10x?a)2?b①
(1)若a=24，求一个实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式。
(2)若a≥25，是否存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式?说明你的结论。 (国家理科实验班招生试题)
20、如图，已知边长为a的正方形ABCD内接于边长为b的正方形EFGH，试求
b的取值范围。 a 16
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参考答案
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第三讲 充满活力的韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】
【例1】 已知?、?是方程x2?x?1?0的两个实数根，则代数式?2??(?2?2)的值为 。 思路点拨：所求代数式为?、?的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a、b都是质数，且a2?13a?m?0，b2?13b?m?0，那么 A、
123125125123 B、或2 C、 D、或2 22222222ba
?的值为( ) ab
思路点拨：可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程
x2?13x?m?0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x1、x2的对称式，这类问题可通过变形用x1+x2、
x1x2表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：
(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
m2【例3】 已知关于x的方程：x?(m?2)x??0
42 (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根x1、x2满足x2?x1?2，求m的值及相应的x1、x2。
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思路点拨：对于(2)，先判定x1、x2的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设x1、x2是方程2x2?4mx?2m2?3m?2?0的两个实数根，当m为何值时，x12?x22有最小值?并求出这个最小值。
思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。
注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。 【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程
17x2?2mx?(m?)2??0的两个根。
24(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。
(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB 思路点拨：对于(2)，易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式。 注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性． 20
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