初中数学竞赛辅导 含答案
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第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程
数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”
转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解． 【例题求解】 【例1】 若2x2?5x?82x2?5x?1?5?0，则2x2?5x?1的值为 ．
思路点拨 视2x2?5x为整体，令2x2?5x?y，用换元法求出y即可．
【例2】 若方程p?2x??x有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是( ) A．p??1 B．p?0 C．?1?p?0 D．?1?p?0
思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注p?2x??x?0的隐含制约．
注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等． 解下列方程： （1）
x2?3x2x2?2x?8?x2?x?43x2?9x?11； 12
)3?1； (2)(1999?x)3?(x?1998 38
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13x?x213?x(x?)?42． （3）
x?1x?1
按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从
(1999?x)?(x?1998)?1受到启示；对于(3)，设y?13?x，则可导出x?y、xy的结果． x?1
注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换． 【例4】 若关于x的方程
2kxkx?1只有一个解(相等的解也算作一个)，试求k的值与方?2?x?1x?xx程的解．
思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值．
注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析． 【例5】 已知关于x的方程(x?)2?5x?ax5a??6有两个根相等，求a的值． x 39
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思路点拨 通过换元可得到两个关于x的含参数a的一元二次方程，利用判别式求出a的值．
注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求．
学历训练
1．若关于x的方程
ax?12x?a?1?0有增根，则a的值为 ；若关于x的方程??1 曾＝一1的x?1x?2解为正数，则a的取值范围是 ． 2．解方程
11111??????得 ． x(x?1)x(x?1)(x?1)(x?2)(x?9)(x?10)12 3．已知方程3x?2m?4．方程x2?3x?3x?3x?721x?m有一个根是2，则m= ． 2?9的全体实数根的积为( )
A．60 B．一60 C．10 D．一10 5．解关于x的方程
xkx不会产生增根，则是的值是( ) ?2?x?1x?1x?1 A．2 B．1 C．不为2或一2 D．无法确定 6．已知实数x满足x2?1x2?x?11?0，那么x?的值为( ) xx A．1或一2 B．一1或2 C．1 D．一2
7．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空格处；
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