。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)
[学习目标]
1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念．认识分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质 [知识链接]
1．抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数有哪些值？取每个值的概率是多少？ 答 ξ的取值有1，2，3，4，5，6，
111111
则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝6)＝. 6666662．离散型随机变量X的分布列刻画的是一个函数关系吗？有哪些表示法？
答 是．随机变量的分布列可以用表格，等式P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)，或图象来表示． [预习导引]
1．离散型随机变量X的分布列
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2， …，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率
P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X x1 x2 … xi … xn 1
P p1 p2 … pi … pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列． 2．离散型随机变量的分布列的性质： (1)pi≥0，i＝1，2，3，…，n；
n(2)i∑pi＝1． ＝1
要点一 求离散型随机变量的分布列
例1 袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设ξ表示取出3个球中的最大号码，求ξ的分布列．
解 根据题意，随机变量ξ的所有可能取值为3，4，5，6.
ξ＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1，2，所以， C21P(ξ＝3)＝3＝；
C620
ξ＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1，2，3的3个球中取，C33
所以，P(ξ＝4)＝3＝；
C620
ξ＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球可以在号码为1，2，3，4的4个球中取，所以，P(ξ＝5)＝ C43
； 3＝C610
ξ＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球可以在号码为1，2，3，4，5的5个球中取，所以，P(ξ＝6)＝ C513＝. C62
所以，随机变量ξ的分布列为
ξ 3 1 204 3 205 3 106 1 222
2
2
P 规律方法 求离散型随机变量的分布列关键有三点： (1)随机变量的取值；(2)每一个取值所对应的概率； (3)所有概率和是否为1来检验．
2
跟踪演练1 从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列． 解 依据题意，ξ的所有可能值为1，2，3，4，5. C55C510
又P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝
31313131C510C55C51
＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝. 313131313131故ξ的分布列为
ξ 1 5 312 10 313 10 314 5 315 1 313
4
5
1
2
P 要点二 分布列的性质及应用
例2 设随机变量X的分布列P(X＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
5(1)求常数a的值； 3
(2)求P(X≥)；
517
(3)求P(＜X＜)．
1010解 由题意，所给分布列为
kX P 1 52 52a 3 53a 4 54a 5 55a a (1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得
a＝.
3345
(2)P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝) 55553454
＝＋＋＝， 1515155
32124
或P(X≥)＝1－P(X≤)＝1－(＋)＝.
551515517123
(3)∵＜X＜，∴X＝，，. 1010555
171231232∴P(＜X＜)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＝＋＋＝.
10105551515155
规律方法 应熟悉分布列的基本性质：若随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，取这些值的概率为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，则①pi≥0，i＝1，2，…，n，②p1＋p2＋…＋pn＝
115
3
1.此外，利用分布列的性质检验所求分布列的正误，是非常重要的思想方法．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 跟踪演练2 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为
ξ －1 1 20 1－2q 1 P (1)求q的值；
(2)求P(ξ<0)，P(ξ≤0)．
q2 解 (1)由分布列的性质得，1－2q≥0，
q2≥0，＋(1－2q)＋q2＝1，∴q＝1－
1
(2)P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝，
2
122. 2
P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)
121＝＋1－2(1－)＝2－. 222
要点三 离散型随机变量的分布列的综合应用
例3 第26届世界大学生夏季运动会于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)：
若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．
解 (1)根据茎叶图，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用分层抽样的方法，每个51人被抽中的概率是＝，
306
11
所以选中的“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人．
66
4
－
用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A表示“没有‘高个子’C3377
被选中”，则P(A)＝1－2＝1－＝.因此，至少有1人是“高个子”的概率是. C5101010(2)依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则 C814C4C828
P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝3＝，
C1255C1255C4C812C41
P(ξ＝2)＝3＝，P(ξ＝3)＝3＝. C1255C1255因此，ξ的分布列为
ξ 0 14 551 28 552 12 553 1 5521
3
3
12
2
P 规律方法 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率．
跟踪演练3 某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，
ξ 0 2 3 P 求这名运动员投中3分的概率．
a b c 解 由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c111
都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以投中3分的概率
2361
是. 6
1i1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()，i＝1，2，3，则a的值为( )
392711
A．1 B. C. D.
131313答案 C
111
解析 由分布列的性质，得a(＋＋)＝1，
392727∴a＝.
13
5
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