高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一

高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2

? 抛物线方程为: y2?4x………………………………………………（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?, ? c=1…………………（2分） 对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1?2?22??1?1?2?4?2?22 ? a?1?2? a?1?22??2?3?22………………………………（4分）

? b2?a2?c2?2?22? 椭圆方程为： x23?22?y22?22?1对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2

? a??2?1? a?2?3?22? b?2?c?2?a?2?22?2? 双曲线方程为： x23?22?y222?2?1………………………………（6分）

（Ⅱ）设AP的中点为C，l?的方程为：x?a，以AP为直径的圆交l?于D,E两点，DE中点为H

?x?3y1?,?………………………………………………（7分） 令A?x1,y1?, ? C?122??? DC?112AP??x1?3??y1222

x1?31 CH??a??x1?2a??322? DH?DC?CH?21?12?x1?3??y12???x?2a?3?????4?14? ??a-2?x1?a2?3a2222当a?2时,DH??4?6?2为定值;? DE?2DH?22为定值此时l?的方程为： x?2…………（12分）

2．（14分）已知正项数列?an?中，a1?6，点Anan,an?1在抛物线y2?x?1上；数列?bn?中，点Bn?n,bn?在过点?0,1?，以方向向量为?1,2?的直线上.

（Ⅰ）求数列?an?,?bn?的通项公式；

????an, ?n为奇数?（Ⅱ）若f?n???，问是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成立，??bn, ?n为偶数?若存在，求出k值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式

an?1?1??1?1?1??????b1??b2??1?1????bn??ann?2?an求正数a的?0成立，

取值范围.

解：（Ⅰ）将点Anan,an?1代入y2?x?1中得

??an?1?an?1 ? an?1?an?d?1? an?a1??n?1??1?n?5直线l:y?2x?1, ? bn?2n?1??n?5, ?n为奇数?（Ⅱ）f?n???………………………………（5分）

??2n?1, ?n为偶数?…………………………………………（4分）

当k为偶数时，k?27为奇数， 当k为奇数时，k?27为偶数， f?k?27??4f?k?……………………（8分）

? k?27?5?4?2k?1?, ? k?4? 2?k?27??1?4?k?5?, ? k?综上，存在唯一的k?4符合条件。（Ⅲ）由

35?舍去?2an?1?1??1?1?1??????b1??b2??1?1????bn??ann?2?an?0

即a??1??1???bn??11??1??1?记f?n??1?1?1???????2n?3?b1??b2??bn??1??1??1???1??2n?3?b1??b2?1?1??1?1?1?????2n?5?b1??b2?1?1??1?1?1??????bn??bn?1?? f?n?1??? ?f?n?1?f?n??2n?3?1?2n?32n?42n?4??1?????2n?5?bn?1?2n?52n?32n?5?2n?3 ?14n2?16n?15? f?n?1??f?n?, 即f?n?递增，? f?n?min?f?1??? 0?a?4515………………………………（14分）

3.（本小题满分12分）将圆O: x2?y2?4上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C的方程;

(2) 设O为坐标原点, 过点F(3, 0)的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,

延长线段ON交C于点E.

求证: OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.

4n2?16n?161445?,3155??x??x,??解: (1)设点P(x, y), 点M的坐标为(x, y),由题意可知?………………(2

?y?2y,?分)

x2?y2?1. 又x??y??4,∴x?4y?4?42222x2?y2?1.………………(4分) 所以, 点M的轨迹C的方程为4(2)设点A(x1, y1), B(x2, y2), 点N的坐标为(x0, y0),

㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: x?my?3,

??x?my?3由?消去x,

22??x?4y?4得(m2?4)y2?23my?1?0………………①

∴y0??3m,………………(6分)

m2?43m23m2?4343∴x0?my0?3??2, ??22m?4m?4m?4∴点N的坐标为(433m, ?).………………(8分)

m2?4m2?4①若OE?2ON, 坐标为, 则点E的为(8323m, ?), 由点E在曲线C上, 22m?4m?44812m24222得, 即 ∴m?8 (m??4舍去). ??1m?4m?32?0,2222(m?4)(m?4)12m2?4m2?164m2?1由方程①得|y1?y2|???1,

m2?4m2?4又|x1?x2| ? |my1?my2| ? |m(y1?y2)|,

∴|AB| ? m2?1|y1?y2| ?3.………………(10分)

4(m2?1)2?3,m?8. ②若|AB| ?3, 由①得∴2m?4∴点N的坐标为(362, ?), 射线ON方程为: y??x (x?0), 362?23?2x??x (x?0)?y???3 ∴点E的坐标为(23, ?6),

由? 解得?233?x2?4y2?4?y??6??3?∴OE?2ON.