（2）直接推理、计算，并在推理计算中消去变量，从而得到定值或定点。
6、曲线组合问题。将圆、椭圆、双曲线、抛物线中的两种或两种以上的曲线有机和谐地组合构成综合性问题是近年高考命题者惯用的手法。此类问题能有效甄别考生的数学素养和数学能力。 3.考题回顾
考题1.（14年文8）设a,b是关于t的方程t2cos??tsin??0的两个不等实根，则过
x2y2A(a,a),B(b,b)两点的直线与双曲线?2?1的公共点的个数为（ ） 2cos?sin?22A．0 B．1 C．2 D．3
【考点分析】直线方程，双曲线的标准方程与渐近线。
【解析】由方程t2cos θ＋tsin θ＝0，解得t1＝0，t2＝－tan θ，不妨设点A(0，0)，B(－tan
θ，tan2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xtan θ，该直线恰是双曲线
一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A
－＝1的cos2θsin2θx2y2
考题2.（14年理9）已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且
?F1PF2? A.
?3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
4323 B. C.3 D.2 33【考点分析】椭圆与双曲线的基本量。
【解析】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，
2＝r2平方得4a24a2消去r1r2，1＝r21＋r22＋2r1r2，1－2r1r2＋r22.又由余弦定理得4c2＝r21＋r22－r1r2，2＝4c2， 得a21＋3a2
考题3.（14年文22、理21）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1．记点M的轨迹为C. （Ⅰ）求轨迹C的方程；
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（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P(?2,1). 求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个
公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
【考点分析】利用轨迹方程问题构造抛物线模型，求直线与抛物线的交点个数，分类讨论思想的应用。
【解析】（Ⅰ）设点M(x,y)，依题意得|MF|?|x|?1，即(x?1)2?y2?|x|?1，
化简整理得y2?2(|x|?x).
?4x,x?0,故点M的轨迹C的方程为y2??
0,x?0.?
（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1:y2?4x，C2:y?0(x?0).
依题意，可设直线l的方程为y?1?k(x?2).
?y?1?k(x?2),由方程组?2 可得ky2?4y?4(2k?1)?0. ①
?y?4x,（1）当k?0时，此时y?1. 把y?1代入轨迹C的方程，得x?1. 41故此时直线l:y?1与轨迹C恰好有一个公共点(,1).
4（2）当k?0时，方程①的判别式为???16(2k2?k?1). ②
设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则 由y?1?k(x?2)，令y?0，得x0??2k?1. ③ k???0,1（ⅰ）若? 由②③解得k??1，或k?.
2?x0?0,即当k?(??,?1)1(,??)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点， 2
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. ???0,???0,11（ⅱ）若? 或? 由②③解得k?{?1,}，或??k?0.
22?x0?0,?x0?0,1即当k?{?1,}时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点.
21当k?[?,0)时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点.
2
10
11故当k?[?,0){?1,}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
22???0,11（ⅲ）若? 由②③解得?1?k??，或0?k?.
22?x0?0,1即当k?(?1,?)2(0,1)时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点， 2故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
综合（1）（2）可知，当k?(??,?1)1(,??){0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共2(0,1)2111点；当k?[?,0){?1,}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k?(?1,?)222时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
x2y2π考题4.（13年文2理5）已知0???，则双曲线C1：??1与C2：224sin?cos?y2x2?2?1的（ ） 2cos?sin?A．实轴长相等
B．虚轴长相等 C．离心率相等
D．焦距相等
【考点分析】考查对双曲线标准方程的理解。 【解析】双曲线C1中，a?sin2222所以c?1，离心率为e??,b2?cos2?，
1。C2中，sin2?a2?cos2?,b2?sin2?，所以c2?1。所以两个双曲线有相同的焦距，选D.
考题5.（13年文22、理21）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m?n)，过原点且不与x轴重合的直线
y A B M O C D 第22题图
N x l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，
C，D．记??S2.
m，△BDM和△ABN的面积分别为S1和n（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1??S2，求?的值；
（Ⅱ）当?变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1??S2？并说明理由． 【知识点分析】椭圆的性质，圆锥曲线的综合应用以及分类讨论思想。计算量较大。
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【解析】依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为
mx2y2x2y2C1:2?2?1,C2:2?2?1. 其中a?m?n?0,???1.
naman(Ⅰ)解法1:如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x?0,则
S1?S|BD|1111. |BD|?|OM|?a|BD|,S2?|AB|?|ON|?a|AB|,所以1?S2|AB|2222在C1和C2的方程中分别令x?0,可得yA?m,yB?n,yD??m, 于是若
|BD||yB?yD|m?n??1???. |AB||yA?yB|m?n??1S1??1??,则??,化简得?2?2??1?0. 由??1,可解得??2?1.
??1S2故当直线l与y轴重合时,若S1??S2,则??2?1. 解法2:如图1,若直线l与y轴重合,则
|BD|?|OB|?|OD|?m?n,|AB|?|OA|?|OB|?m?n;
1111|BD|?|OM|?a|BD|,S2?|AB|?|ON|?a|AB|. 2222S|BD|m?n??1??所以1?.
S2|AB|m?n??1S1?若
S1??1??,则??,化简得?2?2??1?0. 由??1,可解得??2?1.
??1S2故当直线l与y轴重合时,若S1??S2,则??2?1.
y A y A B M O C N x
M B O N x C D 第22题解答图2
D 第22题解答图1
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