北 京 交 通 大 学
2012~2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）
参 考 答 案
某些标准正态分布的数值
x 0.34 0.6631 0.53 0.7019 0.675 0.75 1.16 0.877 1.74 0.9591 1.96 0.975 2.33 0.99 2.58 0.995 ??x? 其中??x?是标准正态分布的分布函数． 一．（本题满分5分）
口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球．求最小号码是5的概率． 解：
设A?“取出4个球，最小号码是5”．
4 10个球取出4个球，有取法C10种．………….2分
若最小号码是5，有取法C53种，因此
3C5101 P?A??4??．………….3分
C1021021二．（本题满分5分）
一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率． 解：
设A?“5位同学至少有两位的生日在同一月份”．
5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有125种可能．………….2分 考虑A的逆事件A，它表示5位同学中，没有两位的生日是同一月份的．
5P12则 P?A??1?P?A??1?5?0.6181．………….3分
12三．（本题满分8分），
已知男人中5%的是色盲患者，女人中色盲患者占0.25%，今从男女比例为22:21的人群中随机地
挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：
设A?“任选一人为男性”，B?“任选一人是色盲患者”． 所求概率为P?AB?．由Bayes公式，得 P?AB??P?A?P?BA??P?A?P?BA?P?A?P?BA?………….3分
22?0.0543 ??0.9544．………….5分 2221?0.05??0.00254343四．（本题满分8分）
在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.9，0.8和0.85，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的．求在一小时内
⑴ 至少有一台机床不需要维修的概率；（4分） ⑵ 至多只有一台机床需要维修的概率．（4分） 解：
甲机床需要维修?，B??乙机床需要维修?，C??丙机床需要维修?．则 设A??⑴ P?至少有一台机床不需要维修??PA?B?C?1?PA?B?C…….2分 ?1?P?A?P?B?P?C??1?0.9?0.8?0.85?0.388．………….2分
⑵ P?至多有一台机床需要维修??P?ABC?ABC?ABC?ABC?………….2分 ?P?ABC??P?ABC??P?ABC??P?ABC?
?P?A?P?B?P?C??P?A?P?B?P?C??P?A?P?B?P?C??P?A?P?B?P?C?
?0.1?0.2?0.15?0.9?0.2?0.15?0.1?0.8?0.15?0.1?0.2?0.85?0.059．…….2分
五．（本题满分8分）
试确定常数a，b，c，d的值，使得函数
????x?1?a?F?x???bxlnx?cx?d1?x?e
?dx?e?为一连续型随机变量的分布函数．
解：
因为连续型随机变量的分布函数F?x?是连续函数，因此函数F?x?在分段点x?1及x?e处连续，所以有
F?1?0??F?1?0??F?1?，即有a?c?d．………….2分 F?e?0??F?e?0??F?e?，即有be?ce?d?d．………….2分 又分布函数F?x?必须满足：limF?x??0，limF?x??1．
x???x???因而有
a?limF?x??0，d?limF?x??1．………….2分
x???x????c?1?0由此得方程组 ? ，解此方程组，得
be?ce?1?1? a?0,b?1,c??1,d?1．………….2分
六．（本题满分8分）
某地区成年男子的体重X（以kg计）服从正态分布N?,??2?．若已知
P?X?70??0.5，P?X?60??0.25，
⑴ 求?与?的值；
⑵ 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过65kg的概率． 解：
?X??70????70???? ⑴ 由已知P?X?70??P???????0.5，
????????X??60????60???? P?X?60??P???????0.25………….2分 ?????????70?????70?????0.5??????0.5??????????得? ．即? ，
60??60?????1?????????1?0.25?0.75????0.75???????????70?????0查正态分布表，得? ，解方程组，得??70，??14.81．………….2分
60?????0.675??
⑵ 设A?“从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过65kg”．则
?X?7065?70??X?70????0.3376? P?X?65??1?P?X?65??1?P???1?P?14.81??14.81?14.81? ?1????0.3376????0.3376??0.6631．………….2分 设X：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过65kg的人数． 则 X~B?5,0.6631?．
设B?“5人中至少有两人的体重超过65kg． 则 P?B??P?X?2??1?P?X?1??1?P?X?0??P?X?1?
1?0.66311?0.33694?0.9530． 1?C50?0.66310?0.33695?C5（已知??0.675??0.75，??0.34??0.6631）………….2分
七．（本题满分8分） 设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为
f?x,?52?x?yy???4?0???0?y?1?x2其它
求：随机变量Y的边缘密度函数fY?y?． 解：
当0?y?1时， fY?y???????f?x,525y?dx??x?ydx?42?1?y1?y??1?y??x02?ydx………….3分
?5?1? ???x3?xy?2?3?0x?1?y315?1?51?y?1?2y?????1?y?2?y?1?y?2??．…….3分
2?36?所以，随机变量Y的边缘密度函数为
?51?y?1?2y??0?y?1 ．………….2分 fY?y???6?0其它?八．（本题满分10分）
设X1,X2,?,Xn是n个独立同分布的随机变量，X1服从参数为?的指数分布．令
T?min?X1,X2,?,Xn?，
求随机变量T的密度函数． 解：
对于任意的实数x，随机变量T的分布函数为 FT?x??P?T?x??P?min?X1, ?1?P?min?X1, ?1?P?X1?x,X2,?,X2,?,Xn??x?
Xn?x? …………………….2分
Xn??x?
X2?x,?, ?1?P?X1?x?P?X2?x??P?Xn?x?
?1??1?P?X1?x???1?P?X2?x????1?P?Xn?x???1??1?FX?x??．………….3分
n所以，随机变量T的密度函数为
n?1 fT?x??FT??x??n?1?FX?x??fX?x?． ………….2分
如果X1服从参数为?的指数分布，则X1的密度函数为
??e??xfX?x????0分布函数为
x?0 ． x?0?1?e??xFX?x???fX?t?dt???0??xx?0 ．………….1分 x?0因此此时T?min?X1,X2,?,n?1Xn?的密度函数为
fT?x??n?1?FX?x??九．（本题满分8分） 设随机向量?X1,fX?x??n?e??x??n?1??e??x?n?e?n?x，?x?0?．………….2分
X2,X3?间的相关系数分别为?12,?23,?31，且，
E?X1??E?X2??E?X3??0，D?X1??D?X2??D?X3???2?0．
令：Y1?X1?X2，Y2?X2?X3,Y3?X3?X1．证明：Y1,Y2,Y3两两不相关的充要条件为
?12??23??31??1．
相关推荐：
loading