12.证明：作CQ⊥PD于Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF，
所以PC2=PQ?PO（射影定理）， 又PC2=PE?PF，
所以EFOQ四点共圆， ∠EQF=∠EOF=2∠BAD，
又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF， 而CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因为∠AEC=∠PQC=90°，
故B、E、C、Q四点共圆，
所以∠EBC=∠EQC=1/2∠EQF=1/2∠EOF=∠BAD， ∴CB∥AD，
所以BO=DO，即四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，BC=AD．
13.顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。 所以∠APB=1500 。
14.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
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15.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：
BEAD =，即AD?BC=BE?AC， ①
BCAC 又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
ABDE=，即AB?CD=DE?AC， ② ACDC 由①+②可得: AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
16.过D作AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由S
ADE=
SABCD2=SDFC，可得：
AEPQAEPQ=，由AE=FC。 22 可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。
17.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小L=
；
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（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP，
推出AD>AP ①
又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L< 2 ； 由（1）和（2）既得：
≤L＜2 。
18.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。
既得AF=13+(+1)2 = 2+423= 4+23 2 =
2(3+1)2(3+1) = 22第 13 页 共 15 页
=
6+2 。 2
19.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：
既得正方形边长L = (2+222)+()2a = 5+22a 。 22
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20.在AB上找一点F，使∠BCF=600 ，
连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，
可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。
推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ，
既得：∠DFG=400 ① 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。
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