2020年四川省南充市中考数学试卷

∴AM＝BN；

（2）△OMN是等腰直角三角形， 理由如下：如图，连接OB，

∵点O是正方形ABCD的中心，

∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO， ∵∠MAB＝∠CBM，

∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC， ∴∠MAO＝∠NBO， 又∵AM＝BN，OA＝OB， ∴△AOM≌△BON（SAS）， ∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON， ∵∠AON+∠BON＝90°， ∴∠AON+∠AOM＝90°， ∴∠MON＝90°，

∴△MON是等腰直角三角形； （3）在Rt△ABK中，BK=√????1

1

2+????2=√??2+1，

∵S△ABK=2×AK×AB=2×BK×AM， ∴AM=????∴BN＝AM=

?????????

=

??√??2+1，

??√??2+1，

∵cos∠ABK=????=????， ∴BM=?????????????

????????

=

1√??2+1，

∴MN＝BM﹣BN=∵S△OMN=4MN2=

1

1??? √??2+1(1???)2

，

4??2+4第25页（共25页）

∴y=

??2?2??+1

（0＜x＜1）；

4??2+4110

当点K在线段AD上时，则=

??2?2??+11

，

4??2+4

解得：x1＝3（不合题意舍去），x2=3， 当点K在线段AD的延长线时，同理可求y=∴

110

??2?2??+1

（x＞1），

4??2+4=

??2?2??+1

，

4??2+4

13解得：x1＝3，x2=（不合题意舍去），

综上所述：AK的值为3或时，△OMN的面积为

31

110

．

25．（12分）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）． （1）求二次函数的解析式．

（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=

5

，求点K的坐标． 3

【解答】解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0）， ∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， ∵二次函数图象过点C（0，4）， ∴4＝a（0+2）（0﹣4）， ∴a=?2，

∴二次函数的解析式为y=?2（x+2）（x﹣4）=?2x2+x+4； （2）存在，

理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，

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1

11

∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点， ∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC=√(4?0)设直线BP解析式为：y＝kx+b， 2=???+??由题意可得：{，

0=4??+????=?

5 解得：{8??=

52

2+(0?4)2=4√2，

∴直线BP的解析式为：y=?5x+5， ∵∠BMC＝90°

∴点M在以BC为直径的圆上， ∴设点M（c，?5c+5）， ∵点Q是Rt△BCM的中点， ∴MQ=2BC＝2√2， ∴MQ2＝8，

∴（c﹣2）2+（?c+?2）2＝8， ∴c＝4或?29，

当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去， ∴c=?29，则点M坐标（?29，24

24

5629

24

2

5851

2

8

28

），

2456

故线段PB上存在点M（?29，），使得∠BMC＝90°；

29

（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，

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∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点， ∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3， ∴∠OBC＝45°， ∵DE⊥BC，

∴∠EDB＝∠EBD＝45°， ∴DE＝BE=

????3√2=2， √2∵点B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4， 设点E（n，﹣n+4）， ∴﹣n+4=， ∴n=， ∴点E（，），

2

2

????9√2在Rt△DNE中，NE=????????=2=， 51033√23

25253

①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m）， ∵NE＝BN﹣BE， ∴

9√210

=

8

5√2（4﹣m）?

3√2， 2∴m=， ∴点N（，58

125

），

∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，

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??=4???4

联立方程组可得：{， 1

??=???2+??+4

2??

解得：{

??

1

=2??

或{=4??1

2

=?8

， =?362

∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）； ②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m）， ∵NE＝BE﹣BN， ∴

9√210

=

17

3√22

?√2（4﹣m），

∴m=5， ∴点N（

175

，），

5

14143

∴直线DK解析式为：y=x?， ??=4???4联立方程组可得：{， 12

??=?2??+??+4解得：{

????

33

11

=

∴点K坐标为（

3+√1453?√145??=444或{，

?1+√145?1?√145=??4=

16163+√145?1+√1453?√1454

，16

）或（

4

，?1?√145）， 16

综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（

?1?√145）． 16

3+√145?1+√1453?√145，）或（，4164

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