应的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，则这个方程的实数根就是函数图像与x轴的公共点的横坐标. 在学生能够利用这一知识直接求二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图像与x轴的公共点坐标的基础上，进一步发现抛物线y?ax2?bx?c(a?0)与x轴公共点的个数与一元二次方程根的判别式之间的联系，从而不需画出二次函数的图像就能利用相应的一元二次方程根的判别式的符号来判断这抛物线与x轴公共点的个数.
最后介绍了确定二次函数解析式的三种方法.在九年级第一学期数学课本中，已讲述了由已知二次函数图像经过直角坐标平面上三点的条件确定其解析式的方法。现在，先将这一方法进行复习巩固，再讲述由已知二次函数图像的顶点坐标或图像与x轴两交点坐标加上其他一个条件，确定其解析式的方法。这样，关于确定二次函数解析式的方法就比较多样了，可按已知条件中含“三点”或“顶点”、“两根”，选取二次函数解析式的适当形式，运用待定系数法来确定这个解析式.课本中关于二次函数的应用主要体现在两个方面，一是与几何知识的综合应用，二是在实际生活中的初步应用，从而帮助学生加深理解二次函数的基础知识，把握知识之间的联系，扩展知识的基本应用；帮助学生学习将实际问题转化为数学问题，体验数学建模，在解决实际问题的过程中，感受数学知识“源于实践，又用于实践”.
本章内容是中学数学中数形结合教学重要载体之一，应充分发挥其功能.根与系数的关系定理（韦达定理）是方程理论中的重要内容之一，在高中数学中也有较多的应用.关于二次函数及其性质，进入高中后还要从解析的角度进一步研究；初中阶段所学的二次函数内容，是高中阶段继续学习函数内容的不可或缺的基础.因此，课程标准特别指出，本章内容是希望进入普通高中的学生所必须修习的.
在本章的学习中，重点是掌握一元二次方程与二次函数之间的联系；难点是如何发现一元二次方程与二次函数之间的联系.教学中要充分展示知识发生的过程，让学生从形、数两方面真正理解一元二次方程与二次函数之间的内在联系，融会贯通有关知识.
4．教学建议
⑴重视学生的探索学习过程.要在激发学生产生探究一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程与二次函数之间的联系等新知识的欲望方面多下功夫，让学生积极参与探索活动和进行数学思考，真正感受知识发生的过程.
⑵注意运用类比、数形结合和化归的数学思想. 在新知识的教学过程中，可以利用图
形的直观性，帮助学生建立新旧知识之间的联系，促进已学知识向新知识的过渡和发展. 如
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课本中指出：“二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图像与x轴有公共点，那么公共点的纵坐标为0.由y=0，得相应的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，则这个方程的实数根就是函数图像与x轴的公共点的横坐标”；“抛物线y?ax2?bx?c(a?0)与x轴的公共点的个数，由相应的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)根的判别式??b?4ac确定；反过来，由抛物线与x轴的公共点的个数，也可以确定判别式的值的符号”。对这些内容的教学，要利用图像为学生提供直观认识的支持，形成抽象思维的基础，引导学生通过对代数的和几何的表达形式进行比较、分析，逐步归纳结论.
⑶注意培养学生的发散性思维能力。应鼓励学生积极思维，大胆发表意见和进行交流，让学生感受逆用一元二次方程根与系数关系建立新方程的不唯一性、有关题目解题方法的多样性，培养学生的发散性思维能力.
⑷把握学习难度. 本章学习的内容，是数学基础知识的组成部分，有明确的定向要求，并充分注意到与高中数学的衔接，可满足学生进入高中数学学习的需要。教学中不要再增加难度，不要盲目拔高，可控制为以课本的练习与习题的难度为准.
⑸重视知识应用的教学。课本中安排了有关知识的基本应用和实际应用的内容，在教学中要重视对问题的分析和解题思路的探索，关注如何建立知识之间的联系及其相互转化，关注如何将实际问题转化为数学问题，培养学生的数学理解能力和应用能力.
25．评价建议
⑴关注学生基础知识和基本技能的获得。重视学生对一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根与二次函数的联系等知识的理解和掌握，以及有关技能的形成；注重检测学生落实教学基本要求的情况，引导学生确立必要的、扎实的知识基础。
⑵关注学生对数学思想方法的体会和感悟.在课堂教学的点评与小结中，要重视对有关数学思想方法的点拨和交流，促进学生进行数学思想方法的反思和总结；对学生的学习评价，应体现对于有关数学思想方法教学的要求.
⑶关注学生思维的灵活性.在一元二次方程根与系数的关系及其应用中，要引导学生重视对于不同解法的比较和方法的合理选择，提供机会让学生进行交流和小结；对学生提出的不同解法和优秀解法，应给予鼓励性评价.
⑷关注学生对一元二次方程和二次函数的联系及知识系统的构建和完善.学生在前面已
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经分别学习了一元二次方程和二次函数的知识，而对两者之间的联系，是在本章学习的过程中逐步认识的。要引导和鼓励学生对所学知识进行系统整理，并将其纳入学习评价范围.
⑸关注学生学习方式和方法的改善. 引导学生积极主动学习，运用已有的一元二次方程和二次函数的基础知识，探究一元二次方程和二次函数的联系，并进行归纳总结；鼓励学生提出问题和开展探究活动，在获取知识的过程中学会学习、学会思考.
二、具体说明
1．1 一元二次方程的根与系数关系
1．教学目标
⑴经历对于一元二次方程的根与系数关系的观察、分析和发现过程，感受获得新知识的成功喜悦.
⑵理解并掌握一元二次方程的根与系数关系，并会用于求关于两根的对称式的值、建立其根与已知方程的根有关的新方程等.
⑶在参与数学活动和解决问题的过程中，领会化归、整体代入和分类讨论等数学思想.
2．教材分析及教学建议
课本中对于一元二次方程的根与系数的关系（又称韦达定理）的探讨，首先请学生在表
中填写二次项系数为1的一元二次方程的两个根，然后用问题形式提出：“每一个方程的两根x1、x2的和或积与方程的系数之间有什么样的关系？”指出了思考的方向，创设了探究的空间，让学生自主发现一元二次方程的根与系数关系；再进行归纳，引导学生将一般形式转化为特殊形式，从而发现然后证明一元二次方程的根与系数的关系定理。
在这一探究过程中，关注学生对于从特殊到一般的研究问题方法的感受。学生通过两次填表，发现这些一元二次方程中两根的和或积与方程系数a、b、c的关系，再抽象到一般的一元二次方程的根与系数关系，然后加以严格证明，这样既有利于激发学生的学习兴趣，又有利于培养学生自主发现与证明定理的能力.
一元二次方程的根与系数关系的应用，首先要求在不解方程的前提下由已知一个根求另
一个根及求方程中的待定系数，把问题转化为关于方程另一个根与待定系数为元的二元一次方程组，通过解方程组可得到方程另一个根与方程中待定系数的值；其次是利用一元二次方程的根与系数关系，求与方程中的两根有关的对称式的值，要求学生能根据已具有的相关知识，对关于两根的对称式进行恒等变形，将对称式转化为关于两根和与积的代数式，然后求
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代数式的值；再次是求解以给出的两个数为根的一元二次方程，即一元二次方程的根与系数关系定理（韦达定理）的逆用，课本中仍然通过问题的提出和解决，让学生了解：如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0,b2?4ac?0)的两个实数根是x1、x2 ，那么
b?x?x??,2??1a成立；如果x1、x2是一个一元二次方程的两个实数根，那么这个一个一元?c?xx?12?a?2x二次方程可写作a(x?x1)(x?x2)?0，即a????x1?x2?x?x1x2??=0，其中a?0.由
于a的值不确定,所以这样的方程有无数个，由已知实数x1、x2为根的方程不唯一.
在运用一元二次方程的根与系数关系的定理时，现阶段必须强调要注意在实数范围内方程存在两个根的前提条件（当然包含着二次项的系数不为零的条件）。对于这个问题，学生往往容易忽视.当然，学生到以后会知道，在复数范围内，这个定理也是适用的。
求作一个新方程，使新方程的根与已知方程的根符合给定的条件，如果已知方程是关于，以免混淆. x的方程，那么新方程中未知数最好不要用字母x（如关于y的方程）
在教学中，要注意以下几点：
⑴对于一元二次方程的根与系数关系的探究，教师要给于充足的时间，不要急于提示。要让学生真正由自己发现一元二次方程的根与系数的关系，经历数学抽象和符号化的过程，享受探究成功过程的喜悦.
⑵在运用一元二次方程的根与系数关系时，必须强调这个方程应表示为一元二次方程的一般式.因此，学生在运用时，首先要观察给出的方程是否是一元二次方程的一般式，若不是，应将其转化为一元二次方程的一般式；其次，要利用根的判别式判断方程是否存在实数根（此项计算可在草稿纸上完成），然后再确定两根的和与积.运算时尤其要强调两根和是一次项系数与二次项系数商的相反数，“负号”不能漏.
⑶利用一元二次方程的根与系数关系，在不解方程前提下由已知一个根求另一个根及方程中的待定系数.可以先将一根代入方程，求出方程中的待定系数；再解这个一元二次方程，得到另一个根。但采用这种方法解题时通常较为繁琐，也与一元二次方程的根与系数关系联系不大.课本中所用的方法是利用一元二次方程的根与系数关系，建立了关于未知根与待定系数为元的二元一次方程组，通过解方程组，得到方程的另一个根及方程中待定系数的值，让学生从中感受新学知识的桥梁作用和转化的思想方法.
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