19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB． （1）求证：∠1=∠2．
（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM； （3）△AEB是什么三角形？证明你的猜想．
20．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．
四、等腰直角三角形问题
21．如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．
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22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．
23．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．
24．如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；
（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．
25．已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°
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（1）求证：△DEF为等腰直角三角形； （2）求证：S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF；
（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由．
26．△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D． （1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；
（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG ①依据题意补全图形；
②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．
27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD与CF交于点G．
（1）求证：△ACD≌△CBF； （2）AD与CF的关系是 ； （3）求证：△ACF是等腰三角形；
（4）△ACF可能是等边三角形吗？ （填“可能”或“不可能”）．
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直角三角形斜边中线等腰直角三角形专题
参考答案与试题解析
1．【解答】解：如图，∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等）， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠2=90°． 故答案为：90．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等，熟记性质是解题的关键．
2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．其中正确的结论是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根据等角的余角相等可以求出
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