中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第6章课后习题详解

2 0 2 xx?dx 3 x 图6-5-6

解：∵dP??(x?2)?2dx，

∴P??302?(x?2)dx?21?

★★★7．洒水车的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如上图所示，当水箱装满水时计算水箱的一个端面所

受的压力。

知识点：微元法在物理上的应用

思路：设椭圆方程为

x220.75?y2?1，见图6-5-7，则在x至x?dx的一条端面上所受的水压力为

dP??(x?0.75)?21?x220.75dx

4 1.5 xx?dx2 y x 图6-5-7

解：∵dP??(x?0.75)?21?∴

0.75?0.75x220.75dx，

P??2?(x?0.75)1?x220.750.75?0.75dx??0.75?0.752?x1?12x220.75dx??1.5?1?x220.75dx??0.75?0.751.5?1?x220.75dx

?1.5???0.75??1.77?(kg)?17.3(kN)

?★★★8．以等腰梯形闸门与铅直平面倾斜30角置于水中，其闸门顶部位于水面处，上下底宽分别为100m

和10m，高为70m，求此闸门一侧面所受到的水的静压力。

知识点：微元法在物理上的应用

思路：以上底中心为坐标原点，垂直向下建立x轴，等腰梯形腰的方程则为：y??6-5-8，因此在x 至x?dx的闸门条带上，所受的静压力为

4570x?50，见图

dP???2(?4570x?50)dx?xcos30

?100m 0 y 70m xx?dx y??914x?50 10m x图6-5-8 解：∵dP??∴P?3(?914914x?50)xdx，

4?70?03(?x?50)xdx?8.379?10?（kg）

cm的液体，把另一同轴旋转抛物面浸沉在它里面，深达hcm，

★★★★9．设一旋转抛物面内盛有高为H问液面上升多少？

知识点：旋转体体积

思路：设两个旋转抛物面?1、?2的方程分别为由yoz面上曲线z?ay和z?by?c绕z轴旋转而

22成，见图6-5-9，可通过排开液体的体积和液面上升后增加的体积相等，计算液面上升的数值

z

h H c y 图6-5-9

2解：高为H的?2旋转面所占的体积V2??2Hc?ydz?2?2Hc?z?cbdz??(H?c)2b，

液面从H上升至h两个旋转抛物面所夹的体积：

V1??h?cH?(za?z?cbab)dz??((h?c)?H2a2?h?(H?c)2b2)，由V1?V2可得：

h?c?H2?h，∴液面上升的高度为h?c?H?2H2?abh2?H。

★★★★10．设有长度为l、线密度为?的均匀细直棒，在于棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的

质点M，试求该细棒对质点M的引力。

知识点：微元法在物理上的应用 思路：以棒的一端为坐标原点，棒置于x轴正向上，建立平面直角坐标，见图6-5-10，质点M位于（0，a）

处，则x 至x?dx段的细棒对质点M的引力为：

?kmdM dF?2r?km?dxx?a22??，dF?dF{xx?a22,?ax?a22}

y a x 0 x x?dx 图6-5-10

l

??解：∵dF?dF{xx?a22,?ax?a22}?{dFx,dFy}，

∴Fx??l0km?xdx(x?a)adx(x?a)22223/2?km?(1a?1l?ax22) ,

l21/20 Fy???l0km?3/2??km?a(x?a)2??km?la(l?a)221/2

★★★★11．长为2l的杆质量均匀分布，其总质量为M，在其中垂线上高为h处有一质量为m的质点，

求它们之间引力的大小。

知识点：微元法在物理上的应用

思路：以棒的中点为坐标原点，棒置于x轴的（?l,l）上，中垂线为y轴，建立平面直角坐标，见图6-5-11，

质点M位于（0，h）处，则x 至x?dx段的细棒对质点M的引力为：

?kmdM dF?2r?kmMdx2l(x?h)y 22??，dF?dF{xx?h22,?hx?h22}

h x

?l 0 x x?dx 图6-5-11

l

??解：∵dF?dF{xx?h22,?hx?h22}?{dFx,dFy}，

∴Fx??lkmMxdx2l(x?a)l?l223/2?0

Fy??

?kmMhdx2l(x?h)223/2?l??kmMxlh(x?h)221/2l??0kmMh(l?h)221/2