所以y2－x2＝4(y＞0)．
y2x2
即曲线C的方程为－＝1(y＞0)．…………5分
44设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x1＋x2y1＋y2
则以线段AB为直径的圆的圆心为Q(，)．
22因为以线段AB为直径的圆与y轴相切， x1＋x21
∴半径r＝|AB|＝||．
22
即|AB|＝|x1＋x2|． ① …………………10分 因为直线AB过点F(22，0)，
当AB ? x轴时，不合题意．
所以设直线AB的方程为y＝k(x－22)． y2x2
代入双曲线方程－＝1(y＞0)得，
44
k2(x－22)2－x2＝4，即(k2－1)x2－42k2x＋(8k2－4)＝0． 因为直线与双曲线交于A，B两点， 所以k≠±1．
8k2－442k2
所以x1＋x2＝2，x1x2＝2．
k－1k－1
所以|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝
(1＋k2)[
?42k2?2－4?8k2－4]＝|x＋x|＝|42k2|， ?k2－1?12
k2－1k2－1??
化简得：k4＋2k2－1＝0，
解得k2＝2－1（k2＝－2－1不合题意，舍去）．
由△＝(42k2)2－4(k2－1) (8k2－4) ＝3k2－1＞0， 又由于y＞0， 所以－1 2－1…………………………………………………………………………15分 14. 如图，斜三棱柱ABC?A1B1C1中，面AAC11C是菱形，?ACC1?60?，侧面 ABB1A1?AAC11C，A1B?AB?AC?1. 求证：（1）AA1?BC1； A （2）求点A1到平面ABC的距离. 证：（1）设AA1中点为D，连C、D. 因为A1B?AB，所以BD?AA1．因为面 C B A1 B1 C1 （第14题） ABB1A1?AA1C1C，所以BD?面AA1C1C． 又?ACC1为正三角形，AC1?C1A1，所以 C1D?AA1. 从而 BC1?AA1． ………………6分 （2） 由（1），有BD?C1D，BC1?CC1，CC1?面C1DB．设A1到面ABC的 距离为h，则 1hS?ABC?VB?CAC1?VB?CDC1. 3因为 A 1VC?C1DB?CC1?S?C1DB， 3所以h?S?C1DBS?ABC． B E C 又 C1D?BD，且 2S?C1DB?C1D?BD?BD2?设?ABC的高为AE，则 3. 435?1?， 22BC2?BC12?CC12?2BD2?1?AE?1?153??， 4285315??. 2842S?ABC?于是有 h?315?1515，即A1到平面ABC的距离为． ………………15分 5515．已知数列?an?中，a1?1，an?3?an?3，an?2?an?2. 求a2007. 解：由题设，an?2?an?2，则 a2007?a2005?2?a2003?2?2?L?a1?2?1003?2007. ………5分 由 an?2?an?2，得an?an?2?2，则 an?3?an?3?an?2?2?3?an?2?1(n?1). ………………10分 于是 a2007?a2006?1?a2005?1?2?a2002?3?1?2?a1999?3?2?1?2 ?L?a1?3?668?1?2?2007， 所以 a2007=2007． 易知数列a1?1，a2?2，L，an?n符合本题要求． ………………15分 注意：猜得答案an?n或a2007?2007，给2分． 16．已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证 明你的结论． 解：存在直线l，与每个圆都有公共点． 证明如下： 如图，先作直线l0，设第i个圆在直线l0上的正投影是线段AiBi，其中Ai、Bi分别是线段的左右 端点． A1 A2 AkBm B2 B1 10个圆有10个投影线段，有10个左端点，有 10个右端点． ………………5分 因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设Ak是最右边的左端点，则所有右端点都在Ak的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个 圆相交矛盾． ………………10分 再设Bm是最左边的右端点，同理所有左端点都在Bm的左边. Ak与Bm不重合，线段 AkBm是任意一条投影线段的一部分，过线段AkBm上某一点作直线l0的垂线l，则l与10 个圆都相交． ………………15分
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