数学（理科）试题参考答案
2020年温州市高三第一次适应性测试
数学（理科）试题参考答案 2020.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求.
题号 答案
1 A 2 C 3 B 4 A 5 C 6 B 7 C 8 D 二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分.
3?；5． 11．12；36． 41633 12．；． 13．[4,??)． 14．?． 15．(2,??)．
4264 9．14；1． 10．
三、解答题 16．（本题15分）
解：（Ⅰ）由已知得2sin??3cos?，则2cos 所以cos??22??3cos??2?0…………3分
1或cos???2（舍）……………………………………5分 2? 又因为0???? 所以?? ……………………………7分
3 （Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?4cosxcos(x??3)
13sinx)……………………………9分
222 ?2cosx?23sinxcosx ?1?cos2x?3sin2x
?4cosx(cosx? ?1?2sin(2x? 由0?x??6)……………………………………11分
2?…………………………………………12分
4663 所以 当x?0时，f(x)取得最小值f(0)?2
?? 当x?时，f(x)取得最大值f()?3……………………………14分
66? 所以函数f(x)在[0,]上的值域为[2,3]…………………………………15分
4?得
??2x???
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数学（理科）试题参考答案
17．（本题15分）
（Ⅰ）如图，由题意知DE?平面ABC 所以 AB?DE，又AB?DF
H 所以 AB?平面DEF，………………3分
AE又AB?平面ABD 所以平面ABD?平面DEF
…………………6分 F （Ⅱ）解法一：
B 由DA?DB?DC知EA?EB?EC 所以 E是?ABC的外心
又AB?BC 所以E为AC的中点 …………………………………9分 过E作EH?DF于H，则由（Ⅰ）知EH?平面DAB
所以?EBH即为BE与平面DAB所成的角…………………………………12分
? 由AC?4，?BAC?60得DE?2，EF?DC3
23 7EH21? 所以sin?EBH? …………………………………15分 BE7 所以 DF?7，EH? 解法二：
如图建系，则A(0,?2,0)，D(0,0,2)，B(3,?1,0)
所以DA?(0,?2,?2)，DB?(3,?1,?2) ……………………………………9分 设平面DAB的法向量为n?(x,y,z)
?3?n?DA?0??2y?2z?0,?1,1) ………………12分 由?得?，取n?(z3??n?DB?0?3x?y?2z?0D 设EB与n的夹角为? 所以cos??EB?n|EB|?|n|?2723?21 7AFBxECy21 所以BE与平面DAB所成的角的正弦值为………………………………15分
718．（本题15分）
2??x?tx,x?0 解：（Ⅰ）解：（1）f(x)??2， ……………………………………1分
???x?tx,x?0 当t?0时，f(x)的单调增区间为[,??),(??,0)，单调减区间为[0,]……3分 当t?0时，f(x)的单调增区间为(??,??) ……………………………………4分
t2t2 数学（理科）试题参考答案 第2页（共7页）
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当t?0时，f(x)的单调增区间为[0,??)，(??,]，单调减区间为[,0)……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知
t2t2ttt?0时f(x)在(??,0)上递增，在(0,)上递减，在(,??)上递增
22t 从而 当?2即t?4时，M(t)?f(0)?0，………………………7分
2m(t)?min{f(?1),f(2)}?min{?1?t,4?2t}………………………8分
所以，当4?t?5时，m(t)??1?t，故M(t)?m(t)?1?t?5………9分 当t?5时，m(t)?4?2t，故M(t)?m(t)?2t?4?6………………10分 当
t?2?t即2?t?4时，M(t)?f(0)?0 2tt2 m(t)?min{f(?1),f()}?min{?1?t,?}??1?t……………11分
24 所以，M(t)?m(t)?t?1?3………………………………………12分
当0?t?2时，M(t)?f(2)?4?2t………………………………………13分
tt2 m(t)?min{f(?1),f()}?min{?1?t,?}??1?t
24 所以，M(t)?m(t)?5?t?3………………………………………………14分
综上所述，当t?2时，M(t)?m(t)取得最小值为3．………………………………15分19．（本题15分）
?62?1()?2?22?1b?a2???a?4c2 解：（Ⅰ）由题意得： ?，解得：?2 e?????b?2a2?222?a?b?c??x2y2??1 ……………………………………5分 故椭圆C的方程为：42
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（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线OM,ON的方程为y?kOMx，y?kONx
?y?kOMx2kOM2?联立方程组?x2y2，解得M(,),
22?11?2kOM1?2kOM???42同理可得N(?21?2k2ON,?2kON1?2k2ON),……………………………………7分
作MM'?x轴, NN'?x轴,M',N'是垂足,
S?OMN=S梯形MM'N'N?S?OMM'?S?ONN'
1[(yM?yN)(xM?xN)?xMyM?xNyN] 21 ?(xMyN?xNyM)
2?4kON4kOM1?(?)
222221?2kOM1?2kON1?2kOM1?2kON ? ?已知S?OMN?2(kOM?kON)1?2k2OM1?2k2ON……………………………………9分
12，化简可得kOMkON??.……………………………………11分
222设P(xP,yP),则4?xP?2yP，
1又已知kAP?kOM,所以要证kBP?kON,只要证明kAPkBP??……………………13分
2yPyPy2P1而kAPkBP??2??
xP?2xP?2xP?42所以可得BP//ON…………………………………………………………………………15分 （M,N在y轴同侧同理可得）
解法二：设直线AP的方程为y?kOM(x?2)，代入x?2y?4
2222 得(2kOM?1)x?8kOMx?8kOM?4?0，它的两个根为?2和xP
2224kOM2?4kOMy? 可得xp? ……………………………………7分 P222kOM?12kOM?1 从而kBP4kOM22kOM?11 ???22kOM2?4kOM?222kOM?1数学（理科）试题参考答案 第4页（共7页）
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