四.数列求和的常用方法
1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；
222③常用公式：1?2?3?，?n?1?n(n?1)1?2???n?1n(n?1)(2n?1)，
26n(n?1)233331?2?3???n?[].
2例1 、已知log3x??1log2?1log23，求x?x2?x3?????xn????的前n项和.
解：由log3x?3?log3x??log32?x?12
由等比数列求和公式得 Sn?x?x2?x3?????xn （利用常用公式）
1 ＝
x(1?x)1?xn＝2(1?1?1212n)＝1－
12n
222?a3???an＝_____ ； 练一练：等比数列{an}的前n项和Sｎ＝2ｎ－１，则a12?a2
2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一
起，再运用公式法求和.
例2、 求数列的前n项和：1?1,解：设Sn?(1?1)?(?4)?(a1a1a21a2?4,1a2?7,???,1a1an?1?3n?2，…
11a1n?1?7)?????(n?1?3n?2)
将其每一项拆开再重新组合得
Sn?(1???????a(3n?1)n2)?(1?4?7?????3n?2) （分组）
当a＝1时，Sn?n?1?＝
(3n?1)n2 （分组求和）
1na?(3n?1)n＝a?a1a?121?n当a?1时，Sn?1??(3n?1)n2
an练一练：求和：Sn??1?3?5?7???(?1)(2n?1)
3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关
联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.
例3、求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值
解：设S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?…………. ①
将①式右边反序得
S?sin89?sin88?????sin2?2?23?sin2?2?2?2?sin1…………..② （反序）
又因为 sinx?cos(90??x),sinx?cosx?1
2①+②得 （反序相加）
2S?(sin1?cos1)?(sin2?2?22?cos2)?????(sin?2?289?cos89)＝89
?2?∴ S＝44.5
练一练：已知f(x)?______；
x221?x，则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()＝
234111
4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）. 例4、 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………① 解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之
积
234n设xSn?1x?3x?5x?7x?????(2n?1)x………………………. ② （设制错位）
234n?1n?(2n?1)x （错位相减）①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x?2x?2x?????2x
再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?(2n?1)xn?1n1?xn?11?x?(2n?1)x
n ∴ Sn??(2n?1)x?(1?x)(1?x)2
例5、求数列,242解：由题可知，{
设Sn?12Sn?222222222n2422n,63,???,2n2n,???前n项的和.
12n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
623}的通项之积
???????2n2n…………………………………①
………………………………② （设制错?423?624?????2n2n?1位）
①－②得(1?12)Sn?22?222?223?224?????22n?2n2n?1 （错位相减）
?2?12n?1?2n2n?1
∴ Sn?4?n?22n?1
练一练：设{an}为等比数列，Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，已知T1?1，T2?4，①求数列{an}的首项和公比；②求数列{Tn}的通项公式.；
5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那
么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
11?1?1；②?1(1?1)； ①
n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k③④
1k2?1k?12?12k?1(1?1k?1)，
1k?1k?1?1(k?1)k?n1k2??1(k?1)k1n!?1?1k?1?1k；
1n(n?1)(n?2)?12n(n?1)2n?[1?1(n?1)(n?2)] ；⑤
2(n?1)!(n?1)!；
⑥2(n?1?n)??1?n?1nn?n?1?2(n?n?1).
例6、 求数列
1?121n?,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.
解：设an项）
?n?1?n?1?n （裂则 Sn?11?2?12?3?????1n?n?1 （裂项求和）
＝(2?1)?(3? ＝n?1?1
2)?????(n?1?n)
例7、 在数列{an}中，an?n项的和.
1n?1?2n?1?????nn?1，又bn?2an?an?1，求数列{bn}的前
解： ∵ an? ∴ bn?1n?1?2n?1?????nn?1?n2
2nn?1?2212?8(1n?1n?1) （裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和
Sn?8[(1?)?(12?13)?(13?14)?????(1n?1n?1)] （裂项求和）
＝8(1?
1n?1) ＝
8nn?114?7
练一练：（1）求和：11?4????1(3n?2)?(3n?1) ? ；
n?n?16.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
（2）在数列{an}中，an?1，且Sｎ＝９，则n＝_____ ；
例8 、求1?11?111?????111????1之和. ??n个1???1?解：由于111???k个119?999?????9????k个119(10k?1) （找通项及特征）
∴ 1?11?111?????111????1 ??n个1＝
19(10?1)?119(102?1)?19n(103?1)?????19(10n?1) （分组求和）
＝
19(10?10?10?????10)?12319(1??1??1??????1) ????n个1110(10?1)n＝?? 910?19n＝
181(10n?1?10?9n)
练一练：①求数列1×4，2×5，3×6，?，n?(n?3)，?前n项和Sn= ；
②求和：1?
11?2?11?2?3???11?2?3???n? ；
数列求和课后练习
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( ) A．200 B．－200 C．400 D．－400 2．数列1，A.
111
，，?，的前n项和为( ) 1＋21＋2＋31＋2＋?＋n
n＋22n2nn B. C. D. 2n＋1n＋1n＋12n＋1
4
7
10
3n＋10
3．设f(n)＝2＋2＋2＋2＋?＋2(n∈N)，则f(n)等于( )
2222
A.(8n－1) B.(8n＋1－1) C.(8n＋3－1) D.(8n＋4－1) 7777
34．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝an－3，则数列{an}的前n项和Sn等于( )
2A．3n＋1－3 B．3n－3 C．3n＋1＋3 D．3n＋3
11111
5．数列1，3，5，7，?，(2n－1)＋n，?的前n项和Sn的值等于( )
2481621111
A．n2＋1－n B．2n2－n＋1－n C．n2＋1－n－1 D．n2－n＋1－n 222219
6．数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n
n(n＋1)10＝0在y轴上的截距为( )
A．－10 B．－9 C．10 D．9
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x)＝1－f(1－x)，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝________.
1234n
8.＋2＋3＋4＋?＋n－2等于________． 22222
11119．数列2，2，2，2?的前n项和等于________．
1＋22＋43＋64＋8
?n2 (n为奇数)?
10．函数f(n)＝?，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋?＋a1000＝__________. 2
?－n (n为偶数)?
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
1??11．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－. ?2?S
(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝n，求{bn}的前n项和Tn.
2n＋1
12．等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a25. n＋n＋1(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前99项的和．
an·an＋1
1
13．(2011·沈阳市模拟)在数列{an}中，a1＝1，2an＋1＝?1＋?2·an(n∈N*)．
?n?an1
(1)证明：数列{2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an＋1－an，求数列{bn}
n2的前n项和Sn.
2
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