结构化学作业题
【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：
（a） 质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s的尘埃；
-1
（b） 动能为0.1eV的中子； （c） 动能为300eV的自由电子。
解：根据关系式：
h6.626?10?34J?s????10?6.626?10?22m?1mv10kg?0.01m?s(1) hh (2)???p2mT?6.626?10?34J?s2?1.675?10?27kg?0.1eV?1.602?10?19J??eV??1 ?9.403?10-11mhh(3) ???p2meV
?6.626?10?34J?s2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?300V
?7.08?10?11m【1.8】电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度??为?的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：
x??hm??hm2eV/m?10%6.626?10?34Js?10
2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?103V?3.88?10?10m这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。
d22【1.12】下列函数中，哪几个是算符dx的本征函数？若是，求出本征值。
x3 e,sinx,2cosx,x,sinx?cosx
d2d2x? ex22解：dx，e是dx的本征函数，本征值为1。 d2d2sinx?1?sinx,sinx是dx2的本征函数，本征值为-1。 dx2d2(2cosx)?2cosxdx2 应该为-2cosx 所以本征值-1 对于sinx+cosx 求得本征函数为
-sinx-cosx 所以本征值为-1.
【1.17】链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长波方向160nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。
解：该分子共有4对?电子，形成?n离域?键。当分子处于基态时，8个?电子占据能级最低的前4个分子轨道。当分子受到激发时，?电子由能级最高的被占轨道（n=4）跃迁到能级最低的空轨道（n=5），激发所需要的最低能量为ΔE＝E5－E4，而与此能量对应的吸收峰即长波方向460nm处的第一个强吸收峰。按一维势箱粒子模型，可得：
8h2?E???2n?1??8ml2
hc因此：
??2n?1?h??l????8mc?12??2?4?1??6.626?10Js?460?10m?????318?18?9.109?10kg?2.988?10ms?? ?1120pm
?34?912计算结果与按分子构型参数估算所得结果吻合。
【1.18】一个粒子处在a?b?c的三维势箱中，试求能级最低的前5个能量值[以h2/(8ma2)为单位]，计算每个能级的简并度。
解：质量为m的粒子在边长为a的立方箱中运动，其能级公式为：
Enx,ny,nzh2222?n?n?n?? xyz8ma2E111?3
E122=E212=E221=9 E113=E131=E311=11 E222=12
【1.19】若在下一离子中运动的?电子可用一维势箱近似表示其运动特征：
222E?nh/8mln估计这一势箱的长度l?1.3nm，根据能级公式估算?电子跃迁时所吸收
E112?E121?E211?6
的光的波长，并与实验值510.0nm比较。11 HCNCH3129HCHCCHCHHCNE222E113=E131=E311E122=E212=E221CH3E112=E121=E211H3CC6H3CH3E 111解：该离子共有10个?电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前5个
图1.18 立方势箱能级最低的前5个能级简并情况?型分子轨道上。离子受到光的照射，?电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最
低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：
62h252h211h2?E??E6?E5???22?8ml8ml8ml2 8mcl2??11hhc?8?9.1095?10kg?2.9979?10ms??1.3?10m??318?1?9211?6.6262?10?34Js
实验值为510.0nm，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。
?506.6nm?2p?z【2.9】已知氢原子的(a)原子轨道能E=?
?r??r?exp?????3a42?a0?0??a0?cos?，试回答下列问题：
1(b)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|μ|=? (c)轨道角动量M和z轴的夹角是多少度？
(d)列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。 (e)节面的个数、位置和形状怎么样？ (f)概率密度极大值的位置在何处？ (g)画出径向分布示意图。 解：（a）原子的轨道能：
E??2.18?10?18J?（b）轨道角动量：
1?19??5.45?10J22 hh?22?2?
M?l(l?1)轨道磁矩：
（c）轨道角动量和z轴的夹角：
??l?l?1??ehM2??0cos??z?hM2?2?， ??90
0?（d）电子离核的平均距离的表达式为：
*?r???2pzr?2pzd?
???0（e）令
?2p?0z??0?2?022?2pr?rsin?drd?d?z，得：
0
r=0，r=∞，θ=90
节面或节点通常不包括r=0和r=∞，故
?2pz的节面只有一个，即xy平面（当然，坐标原点
0
也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分Y?3/4?cos??0，求得θ=90。
（f）几率密度为：
2???2pz
????sin??0000
由式可见，若r相同，则当θ=0或θ=180时ρ最大（亦可令??，θ=0或θ
0
=180），以?0表示，即：
1?r??ar?0??(r,??0,180)??e3?32?a0a?0? 将?0对r微分并使之为0，有：
0?r??ar2?ecos???332?a0?a0?
10222rd?0d?1?r??a0????e?3?drdr?32?a0?a0????
r?1r?a0??re2????0532?a0a0?? 又因：
解之得：r=2a0（r=0和r=∞舍去）
d2?0|?02r?2a0dr
2?2所以，当θ=0或θ=180，r=2a0时，p有极大值。此极大值为：
0
0
z?2a0??2aae?2?m??e?3?332?a0a8?a0?0?
?3 ?36.4nm
1002D2pz（g）
根据此式列出D-r数据表： r/a0
?1a0D/
5?r?r2????111?r2R2?r2?re2a0??r4ea0??5?26?a0??24a0????
20 0 7.0 0.091
1.0 0.015 8.0 0.057
2.0 0.090 9.0 0.034
3.0 0.169 10.0 0.019
4.0 0.195 11.0 1.02×10
-2
5.0 0.175 12.0 5.3×10
-3
6.0 0.134
r/a0 D/
a?10
按表中数据作出D-r图如下：
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