仅供个人参考
1dm?1mRes[f(z),b]?limm?1[?z?b?f?z?]
?m?1?!z?bdzc) 如b是f?z??P?z?的一阶极点，且P(b)≠0，那么 Q?z??P?z??P?b? Res?,b??????QzQ'b??d) Res[f(z),?]??Res[f()11,0] 2zzz??e) 若z??是f(z)的可去奇点，并且limf(z)?0，
Res[f(z),?]??C?1??limzf?z?
z??关系：全平面留数之和为零。
?Res?f?z?,b???Res?f?z?,???0
kk?1?
本章重点：函数展开成Taylor级数，并能写出收敛半径。 函数在解析圆环城内展开成Laurent级数。
孤立奇点（包含z??点）的判定及其留数的计算。
第五章 留数定理的应用
一、
?2?0R?sin?,cos??d?
条件：（1）R(sin?，cos?) 为cos?与sin ? 的有理函数 （2）R (? ) 在[0，2?] 或者 [-? ，?] 上连续。
dzz?z?1z?z?1令z?e，则sin??，cos??，d??。
iz22ii??2?0R?sin?,cos??d????z2?1z2?1?dz?R?,??z?1??2z?iz?2izz?1f?z?dz
?2?i?Res?f?z?,z?
kk?1nzk?1
注意留数是计算单位圆中的奇点。 二、
????f?x?dx
条件： （1） f?x??P?x?Q?x? P?x?,Q?x?是x的多项式。
（2） Q?x??0
（3） 分母阶次比分子阶次至少高二次
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则
????f?x?dx?2?i?Res?f?z?,bk? bk是f(z)在上半平面的奇点。
R?1n三、
??R?x?edx （??0）
ix?????条件：（1）R?x??PxQ?x?，且Q?x?比P?x?至少高一阶，
（2）Q?x??0，（3）??0
I?????R?x?edx?2?i?ResR?z?ei?z,bk Imbk?0
i?xk?1n??????R?x?cos?xdx?ReI，?R?x?sin?xdx?ImI
???
重点关注第一和第三种类型
第七章 Fourier变换
一、傅立叶变换
F?????f?x?e?j?tdt
???f?x??12?????F???ej?td?
12??二、?函数的傅立叶变换
????x??????x?e?j?xdx?1.
??????ej?xd????x?
三、一些傅立叶变换及逆变换
?[H(x)]?1?????? i?11??1[]?H(x)?
i?2四、性质：??f?x???F???
1、 相似性质
?? ??f?ax???1F???
a?a?2、 ??f?x?x0???e ? e?j?x0F??? 延迟性质
??j?0xf?x??F????0? 位移性质
?3、微分性质
? ?f'?x???j?F(?) ? ??jxf(x)??F'(?)
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? f??n?dnF(?) ?x??(j?)F(?) ? (j?x)f?x??nd??n?n?4、积分性质
x1?? ?f?x?dx??F(?) ???x0?j?由Fourier变换的微分和积分性质，我们可以利用Fourier变换求解微积分方程。
四、卷积和卷积定理
f1(x)*f2(x)??f1(?)f2(x??)d?
???? [f1(x)*f2(x)]?F1(?)F2(?)
? [f1(x)f2(x)]?＊
1F1(?)*F2(?) 2?五、三维Fourier变换及反演
本章重点：利用定义计算Fourier变换
第八章 Laplace变换
一、拉普拉斯变换
??f?x????f?x?e?ptdt?F?p?
0?二、几个重要的拉普拉斯变换及逆变换
??H?t????1?1 ??1???H?t? p?p??1?1??t ??1? ?e?p???p???p2??2 ??1??e??t?????cos?t??p?p??cos?t 22??p??????sin?t 22?p??????sin?t????[tm]?m!p2??2 ??1??pm?1 ?[??t?]?1
四、拉普拉斯变换的性质
1、??f?t?t0???e2、?e?pt0F?p?
??p0tf(t)?F?p?p0?
?3、??f'?t???pF?p??f?0?
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?f?u?t???p2F?p??pf?0??f'?0?
n??t??duF?p? f?t??ndp?t1?4、??f?t?dt??F?p? ???0?p??f?t????dt???F?p?dp ?t??五、卷积：f1?t?*f2?t???f???f?t???d?
012t??f1?t?*f2?t???F1?p?F2?p?
六、Laplace 反演
n1??j?ptpt????f?t??Fpedp?ResFpe,pn ????j?2?jn?1??七、Laplace逆变换
（1）部分分式法 （2）卷积定理
（3）Laplace反演公式（留数定理） （4）利用Laplace变换的性质
八、利用Laplace变换求解微积分方程
（1）对方程取Laplace变换，得到象函数的代数方程 （2）解代数方程，得到像函数的表达式 （3）求像函数的拉普拉斯逆变换
拉氏变换 解代数方程 微分方程 像函数的代数方程 像函数 像原函数 拉氏逆变换
解函数
本章重点：利用定义和性质计算Laplace变换。 计算Laplace逆变换。
利用Laplace变换求解微积分方程。
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