2019年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．（5分）已知复数z满足(1?i)z?2i（i为虚数单位），则z?（ ） A．?1?i
B．?1?i
C．1?i
D．1?i
2．（5分）若集合M?{x|x?1}，N?{x?Z|0?x?4}，则(CRM)A．{0}
B．{0,1}
C．{0,1,2}
N?（ ）
D．{2,3,4}
3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（ ）
12 C． 23114．（5分）“b?a?0”是“?”的（ ）
abA．
B．
A．充分不必要条件 C．必要不充分条件
B．充要条件
1 3D．
5 6
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角?的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(?3,1)，则cos2??（ ） A．?
35B．
3 5C．?4 5D．
4 56．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
7．（5分）在?ABC中，AB?2，AC?3，?BAC??3，若BD?2BC，则AD?BD?（ ） 3A．
22 9B．?22 9C．
16 9D．?
898．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为周，则该不规则几何体的体积为（ ）
1圆4
A．1?? 2B．
1?? 36
C．1?2?
D．
12?? 339．（5分）将函数f(x)?sin(?x??)(??0,??轴对称，且f()??A．f(x)?sin(2x?C．f(x)?sin(4x??2)的图象向右平移
?个单位长度后，所得图象关于y6??1，则当?取最小值时，函数f(x)的解析式为（ ） 2) )
B．f(x)?sin(2x?D．f(x)?sin(4x??6?6) )
?6?610．（5分）设A，B，C，D是同一个球面上四点，?ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥
D?ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ）
A．36?
B．64?
x?xC．100? D．144?
11．（5分）若函数f(x)?e?eA．(?1,) C．(??sin2x，则满足f(2x2?1)?f(x)?0的x的取值范围为（ ）
B．(??,?1)D．(??,?)12
1(,??) 2(1,??)
1,1) 212x2y212．（5分）已知F1、F2分别为双曲线??1的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足
46MF1?MF2?0，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则?MF1N的面积为（ ）
A．12
B．122 C．24
D．242 二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知(a?x)(2?x)的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为 ．
5?3x?y?3?0?14．（5分）已知x，y满足约束条件?x?y?0，则z?2x?y的最小值是 ．
?x?y?4?0?15．（5分）在?ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a?2，asinB?3bcosA，则
?ABC周长的最大值为 ．
?lnx,0?x?2e16．（5分）已知f(x)??，若方程f(x)?mx?0有2个不同的实根，则实数m的
?f(4e?x),2e?x?4e取值范围是 （结果用区间表示）．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．
*17．（12分）已知数列{an}中，a1?1，an?2an?1?1(n?2,n?N)．
（1）记bn?log2(an?1)，判断{an}是否为等差数列，并说明理由； （2）在（1）的条件下，设cn?bn，求数列{cn}的前n项和Tn． an?118．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，?ABC等边三角形，AC?DC，以AC为折痕将?ABC折起，使得平面ABC?平面ACD．
（1）设E为BC的中点，求证：AE?平面BCD； （2）若BD与平面ABC所成角的正切值为
23，求二面角A?BD?C的余弦值． 219．（12分）已知F为抛物线C：y?2px(p?0)的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，AB?4． （1）求抛物线C的方程；
（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，
PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．
20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(?,?)，其中?近似为样本平
2均数x，?2近似为样本方差s2．
（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X则YN(?,?2)，令Y?X???，
N(0,1)，且P(X?a)?P(Y?a???)．
利用直方图得到的正态分布，求P(X?10)．
（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求
P(Z?2)（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．
参考数据：178?40，0.773419?0.0076．若Y3x2?xN(0,1)，则P(Y?0.75)?0.7734.
21．（12分）已知函数f(x)?e?2ax?3ae(a?R)，其中e?2.71828...为自然对数的底数． （1）讨论f(x)的单调性；
（2）当x?(0,??)时，e(x?a)?3aex2?x?x2?a2?10?f(x)恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
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