【VIP专享】§. 可积条件 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件5

§3 可积条件

证f在[a,b]上连续，从而在[a, b]上一致连续. 于

是???0,???0,?x?,x???[a,b],若x??x????,则b?a因此当[a,b]上的分割T满足T??时,?i?Mi?mi?sup{f(x?)?f(x??)，x?,x???[xi?1,xi]}?nf(x?)?f(x??)??.?b?aii,从而

??Δxi?1?Δx?b?ai?1?ni??.数学分析第九章定积分高等教育出版社§3 可积条件第二种方法:若??i有界，即?M,对任意分割，n??i?M,则当||T||?i?1ni?1ni?1?Mni?1时,???i?xi?T??i??i?i?1n?MM??.例如,f在[a,b]上单调时,有f(b)?f(a),从而可证f在[a,b]上可积.定理9.5（单调必可积）若f是[a,b]上的单调函数,则f在[a,b]上可积.数学分析第九章定积分高等教育出版社§3 可积条件

证不妨设f是非常值的增函数，则对任意分割

T:a?x0?x1?...?xn?b,?i?f(xi)?f(xi?1),i?1,2,L,n,于是

??i???f(xi)?f(xi?1)?i?1i?1nn?f(b)?f(a).因此, 若T?n?f(b)?f(a)T???i?i?1n,则??iΔxi?i?1?数学分析第九章定积分高等教育出版社f(b)?f(a)??f(b)?f(a)???.§3 可积条件

第三种方法:若??iΔxi???i?Δxi????i??Δxi??,在??i?Δxi?中,?i???2(b?a),,而在??i??Δxi??中，???xi???2(M?m)其中M?m是f在[a,b]上的振幅.从而?i?M?m,i?1,2,L,n.????于是??i?xi???i??x?i???i?xi???(b?a)?(M?m)2(b?a)2(M?m)??.数学分析第九章定积分高等教育出版社