【VIP专享】§. 可积条件 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件5

§3 可积条件若f在[a,b]上有界,且只有有限多个不连续点，

此时可用第三种方法证明f 可积.

定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积）若f在[a,b]上有界，且只有有限多个间断点，则f在[a, b] 上可积.

证不妨设f在[a,b]上只有一个间断点, 且为b.???0,取??满足2(M?m)其中M与m分别为f在[a,b]上的上确界与下确界.数学分析第九章定积分高等教育出版社0??????(b?a).§3 可积条件

设f在[b???,b]上的振幅为??,则2(M?m)2由于f在[a,b???]上连续,则存在分割

T?:a?x0?x1?...?xn?1?b???,?使?i?xi?.?2T?令T:a?x0?x1?...?xn?b,则

??i?xi???i?xi?????T?????(M?m)????.22由可积准则,f在[a,b]上可积.数学分析第九章定积分高等教育出版社??T?????.§3 可积条件

例2证明黎曼函数

p?1?q,x?q(p,q互素),R(x)???0,x?0,1及(0,1)中的无理数?R(x)dx?0.?0p1?证???0,在[0,1]中满足?的有理数r?qq2只有有限多个,设它们为?r1,r2,?,rk?.对[0,1]作分割T:0?x0?x1?L?xn?1,?使T?2k.T中含{r1,r2,L,rk}的小区间至多有

在[0,1]上可积,且

12k个,记为??i??.数学分析第九章定积分高等教育出版社§3 可积条件因此这些小区间长度之和为

?Δxi??2k?2k??.???T中不含{r1,r2,L,rk}的区间记为{??i}.由于在?i??上0?R(x)?,于是?i???.从而22数学分析第九章定积分高等教育出版社?