.
2D?ds?q?4?rD?q?D??sqe 2r4?r在0?r?a区域中，电场强度为
E?D?0?q4??0r2er
在a?r?b区域中，电场强度为
E?D?D?qe 2r4??r在r?b区域中，电场强度为
E??0?q4??0r2er
再求介质壳内外表面上的束缚电荷。
由于P?????0?E，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为
?s?n?P??er?P??????0?
外表面上束缚电荷面密度为
q??0?q ???1??22??4?a4??a??s?n?P?er?P?????0?q??0?q ??1??22??4?b4??b?2-20 将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场E中，周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为?，均匀电场E的方向与介质板法线的夹角为?1，如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向?2?度?1及介质表面的束缚电荷面密度。
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?4时，试求角
E ?0 en1 ? ?2 ?2 E2 ?0 ? 1 en2
?1 E d 习题图2-20
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解 根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得
Esin?1?E2sin?2； Dcos?1?D2cos?2
已知D??0E, D2??E2，那么由上式求得
??tan?1?0?????tan?1?0tan?2?0??1?arctan?0?
tan?2????????en?P?en?(D??0E)， 已知介质表面的束缚电荷?s那么，介质左表面上束缚电荷面密度为
?1?en1?P2?en1??1??s???0????????D2??1?0?en1?D2???1?0??0Ecos?1????????介质右表面上束缚电荷面密度为
?2?en2?P2?en2??1??s???0????????D2??1?0?en2?D2??1?0??0Ecos?1????????2-21 已知两个导体球的半径分别为6cm及12cm，电量均为3?10?6C，相距很远。若以导线相连后，试求：①电荷移动的方向及电量；②两球最终的电位及电量。
解 设两球相距为d，考虑到d >> a, d >> b，两个带电球的电位为
?1?1?q1q2?1?q2q1???? ???；?2?4??0?bd?4??0?ad?两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布，但总电荷量应该守恒，即?1??2及q1?q2?q?6?10求得两球最终的电量分别为
?6?C?，
a?d?b?1q?q?2?10?6?C?
ad?bd?2ab3b?d?a?2q2?q?q?4?10?6?C?
ad?bd?2ab3q1?可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球，移动的电荷量为
1?10?6?C?。
.
.
两球最终电位分别为
?1?q1?3?105?V?
4??0a1q2?3?105?V?
4??0b1?2?3-4 一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近，如习题图3-4所示。已知线电荷密度?l?10(C/m)，离开平面的高度h?5m，空间媒质的相对介电常数?r?4。试求：① 空间任一点场强及能量密度；② 导体表面的电荷密度；③ 当线电荷的高度增加一倍时，外力对单位长度内的线电荷应作的功。
解 ①建立圆柱坐标，令导体表面位于
导体
习题图3-4
关。根据镜像法，上半空间中任一点
y ?l ?r h x
xz平面，导体上方场强应与变量z无
P(x,y)的场强为
?lr1??lr2?l?xex?(y?h)eyxex?(y?h)ey?E????2?2?2222??x?(y?h)x?(y?h)2?2??rr12??rr2r?? ?l2??r???xx????x2?(y?h)2x2?(y?h)2??ex???
?(y?h)(y?h)?? ???x2?(y?h)2?x2?(y?h)2??ey????电场能量密度为
?lh2(x4?y4?h4?2x2h2?2x2y2?2y2h2)12 w??rE?22222222??r[x?(y?h)][x?(y?h)]已知导体表面的电荷面密度?s?Dny?02，那么
?s?Dny?0??rEyy?0???lh(C/m2) 22?(x?h)单位长度内线电荷受到的电场力可等效为其镜像线电荷对它的作用
.
.
力，即
??lF?ey 22??r(2h)可见，线电荷受到的是吸引力。所以，当线电荷的高度h增加一倍时，外力必须做的功为
2W??(?F)?dl??h2h2hh?l211 （J）。 dy??2.81?10216??rh2??r(2y)?l2
3-10 试证位于半径为a的导体球外的点电荷q受到的电场力大小为
q2a3(2f2?a2) F??32224??0f(f?a)式中f为点电荷至球心的距离。若将该球接地后，再计算点电荷q的受力。
a2证明 根据镜像法，必须在球内距球心d?处引入的镜像电荷
fq???aq。由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个f镜像电荷?q?，且应位于球心，以保持球面为等电位。那么，点电荷q受到的力可等效两个镜像电荷对它的作用力，即，
qq?afq2F1?e??e（N） 2r222r4??0(f?d)4??0(f?a)?qq?aq2F2?er?er（N）
4??0f24??0f3q2a3(2f2?a2)合力为 F?F1?F2??e（N） 3222r4??0f(f?a)当导体球接地时，则仅需一个镜像电荷q?，故q所受到的电场力为F1。 3-11 在半径为a的接地导体球附近，沿径向放置一根长度为l的线电荷，如习题图3-11(a)所示。已知线电荷密度为?l，近端离球心的距离为D，试求镜像电荷及其位置。
a .
?l D l 习题图3-11(a)
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