拉氏变换及其计算机公式

拉氏变换为

(5)正弦、余弦信号

(2-59)

正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。由指数函数的拉氏变换，可以直接写出复指数函数的拉氏变换为

(2-60)

因为

(2-61)

由欧拉公式

(2-62)

有

(2-63)

分别取复指数函数的实部变换与虚部变换，则有：正弦信号的拉氏变换为

(2-64)

同时，余弦信号的拉氏变换为

(2-65)

常见时间信号的拉氏变换可以参见表2-1。

表2-1常见函数的拉普拉斯变换表

三、拉氏变换的一些基本定理

(1)线性定理

若函数

的拉氏变换分别为，则

(2-66)

(2)延迟定理 若函数

(2-67)

的拉氏变换为

，则

信号

与它在时间轴上的平移信号

的关系见图2-18所示。该定理说

明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。 应用延迟定理，可以简化一些信号的拉氏变换的求取。

例2-9 周期锯齿波信号如图2-18所示，试求该信号的拉氏变换。 解：该信号为周期信号。因此，已知信号第一周期的拉氏变换为拉氏变换的延迟定理，得到周期信号的拉氏变换为

时，应用

锯齿波信号第一周期的拉氏变换为

所以，锯齿波信号的拉氏变换为

(3)衰减定理

若函数

(2-68)

该定理说明了时间信号

在时间域的指数衰减，其拉氏变换在变换域就成为坐

的拉氏变换为

，则

标平移。当时间函数带有指数项因子时，利用拉氏变换的衰减定理，可以简化其

拉氏变换的求取计算。 例2-10 试求时间函数

解： 因为正弦函数的拉氏变换为

的拉氏变换。

所以，应用拉氏变换的衰减定理可以直接写出

另外，衰减定理与延迟定理也表明了时间域与变换域的对偶关系。

(4)微分定理 若函数氏变换为

的拉氏变换为

，且

的各阶导数存在，则

各阶导数的拉