拉氏变换及其计算机公式 - 图文

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这表明时域函数卷积分在变换域成为变换域函数的乘积。证明可参考其他教材。

时域函数在变换域中表示有两个优点。一个优点是简化了函数，例如指数函数和正、余弦函数都是时域中的超越函数，在变换域中成为有理函数表示；另一个优点是简化了运算，如时域函数的卷积分在变换域中成为变换域函数的乘积。 常用的拉氏变换基本定理可以参见表2-2。

表2-2 拉普拉斯变换的基本性质表

四、拉普拉斯反变换 拉普拉斯变换将时域函数复变函 数

变换为复变函数

，相应地它的逆运算可以将

变换回原时域函数。拉氏变换的逆运算称为拉普拉斯反变换，

简称拉氏反变换。由复变函数积分理论，拉氏反变换的计算公式为

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上式的拉氏反变换，由于是复变函数的积分，计算复杂，一般很少采用。所以已知

反求

时，通常采用的方法是部分分式法。

由于工程中常见的时间信号将

，它的拉氏变换都是s的有理分式。因此，可以

之和，再利用拉氏变换表确定出所有的有，合成时域函数

。上述过程遵循的是

分解为一系列的有理分式

所对应的时域函数

理分式项

拉氏变换的线性定理。 拉氏变换

通常为s的有理分式，可以表为

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式中，

是分子多项式，

是分母多项式，系数

。

和

均为实数，，为正整数，而且

在复变函数理论中，分母多项式所对应的方程称为

的极点。这样

可以表示为

，其所有的解

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由复变函数的留数定理，可以确定

的各分式

，求得拉氏反变换为

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下面分别讨论各种计算情况。 1．

全部为单根

可以分解为

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其中

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为复变函数

对于极点

的留数。则拉氏反变换为

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例2-11 已知： 解：将

分解为部分分式

，求拉氏反变换。

极点为：

，则对应极点的留数为

则分解式为

查拉氏变换表可得

2．有重根

只考虑一个单根情况，设为

为单根，为重根，，则可以展开

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式中，与单根相对应的系数的求法与前述相同。与重根相对应的各系数，

，由留数定理可得计算公式如下：

(2-89)

…………