2.3.1
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考点 1.求离散型随机变量的均值 2.两点分布与二项分布的均值 3.均值的性质与实际应用 一、选择题 1．设离散型随机变量的概率分布列为
对应题号 基础训练 1,2,5,8 3,7,9 4,11 能力提升 10 6,12,13 ξ P 0 1 2 2p1－ 3p3 p 3则ξ的数学期望的最小值是( ) 1A． 2C．2
2p0≤1－≤1，3
B．0
D．随p的变化而变化
??pA 解析 因为?0≤≤1，
3
p?1－2p?＝2－p，?E?ξ?＝×1＋2?3??3??
3
0≤p≤，?2?所以?0≤p≤3，
??E?ξ?＝2－p.
10
11
所以≤E(ξ)≤2，所以E(ξ)的最小值是. 22
2．某射手射击所得环数ξ的分布列为
ξ P 7 8 0.1 9 0.3 x y 已知ξ的数学期望E(ξ)＝8.9，则y的值为( ) A．0.2 C．0.4
B．0.6 D．0.8
C 解析 由题可知x＋0.1＋0.3＋y＝1,7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，联立求解得
y＝0.4.故选C项．
1
3．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么，其中数学成
4
?1?绩优秀的学生数ξ～B?5，?，则E(－ξ)＝( ) ?4?
1A． 45C． 4
1B．－
45D．－
4
55?1?D 解析 由ξ～B?5，?，得E(ξ)＝，所以E(－ξ)＝－E(ξ)＝－. 44?4?4．已知随机变量ξ的分布列为 ξ P －1 1 20 1 31 m 7
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝( )
3A．1 C．3
B．2 D．4
111111
B 解析 由分布列的性质得＋＋m＝1，所以m＝，所以E(ξ)＝－1×＋0×＋1×
236236117
＝－，所以E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－a＋3＝.所以a＝2.
333
5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止．假设每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的数学期望为( )
A．2.44 C．2.376
B．3.376 D．2.4
3
C 解析 剩余子弹数目ξ的概率分布为P(ξ＝0)＝0.4×(0.4＋0.6)，P(ξ＝1)＝0.6×0.4，P(ξ＝2)＝0.6×0.4，P(ξ＝3)＝0.6，所以E(ξ)＝2.376.故选C项．
6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为
2
c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则＋的最小值为( )
a3b3A． 231C． 43
2B． 8316D．
3
21
221
D 解析 由已知得3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0＜a＜，0＜b＜1.又＋3a3b3a＋2b?21?12ba10
＋?＝3＋＋＋≥＋2＝?2?a3b?3a2b32116
所以＋的最小值为.
a3b3
二、填空题
2ba16
·＝，当且仅当a＝2b时，等号成立，a2b3
7．已知某篮球运动员比赛中罚球的命中率为0.8，每次罚球命中得1分，罚球不中得0分，则他罚球一次得分ξ的数学期望为________．
解析 由题意，他得分的分布列为 ξ P 所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 答案 0.8
1 0.8 0 0.2 8. 袋中有5只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分ξ的数学期望E(ξ)＝________.
解析 分析知ξ可取5,6,7,8.
C3C51C5C33
P(ξ＝5)＝4＝(3黑1红); P(ξ＝6)＝4＝ (2黑2红)；
C814C87C5C33C51
P(ξ＝7)＝4＝ (3红1黑); P(ξ＝8)＝4＝ (4红)．
C87C81445513
所以E(ξ)＝＝.
702答案
13 2
31
4
31
22
9．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望是________．
解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子是否发芽相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000，0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，故需补种的数学期望为2E(ξ)＝200.
答案 200 三、解答题
10．在某电视台的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A，B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获100分，答对问题B可获200分，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分11
将决定获奖的档次．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A，B的概率分别为，.
24
(1)记先回答问题A的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(2)你觉得应先回答哪个问题才能使你得分更高？请说明理由． 解析 (1)X的分布列为
X P 0 1 2100 3 8300 1 8131所以E(X)＝0×＋100×＋300×＝75.
288
(2)设先答问题B的得分为随机变量Y，则Y的分布列为
Y P 0 3 4200 1 8300 1 8311125所以E(Y)＝0×＋200×＋300×＝.
4882
因为E(X)＞E(Y)，所以先回答问题A所得的分较高．
11．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景区的概率分别为0.4,0.5,0.6，且客人是否游览某个景点互不影响，设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
(1)求X的分布列及数学期望；
(2)记“函数f(x)＝x－3Xx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率．
解析 (1)分别设“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”为事件
2
A1，A2，A3，由已知，A1，A2，A3相互独立，
P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，
客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3.
相应的，客人们没有游览的景点数的可能取值为3,2,1,0. 所以X的可能取值为1,3.
P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)
－－－
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3) ＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24，
－－－
P(X＝1)＝1－0.24＝0.76，
所以X的分布列为
X P E(X)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48. 1 0.76 3 0.24
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