费业泰误差理论与数据处理课后答案全

可由公式直接计算加权算术平均值和标准差：

x?0.72?50?1?0.007?1?0.005?0.722

5?1?1vx1?x1?x??0.002,vx2?0.005,vx3?0.003

加权算术平均值的标准差的计算，先求残余误差：

算术平均值的标准差为：

?x??pvi?1m2ixim(m?1)?pii?15?0.0022?1?0.0052?1?0.0032??0.002

(3?1)(5?1?1)?limx??3?x??3?0.002??0.006?x?0.722?0.006

22-28 测量圆盘的直径D?(72.003?0.052)mm，按公式计算圆盘面积S??D/4，由于选取?的有效数字位数不同，将对面积S计算带来系统误差，为保证S的计算精度与直径测量精度相同，试确定?的有效数字位数？ 【解】测得D的平均值为72.003mm 由S??D24,得：

4?22g??1.04230?9.81053(m/s) 22.0480当D有微小变化?D、?有??变化时，S的变化量为：

?S?S?DD2?S??D?????D????D??243.1416?72.00372.0032?0.052??(?0.052)??? 2472.0032?0.052?5.8813???4????0.0045??0.004??取4位有效数字

16

第三章 误差的合成与分配

3-2 为求长方体体积V，直接测量其各边长为：a?161.6mm,b?44.5mm,c?11.2mm，已知测量的系统误差为?a?1.2mm,?b??0.8mm,?c?0.5mm，测量的极限误差为

?a??0.8mm,?b??0.5mm,?c??0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差。 【解】立方体体积：V?abc，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：

V0?abc?161.6?44.5?11.2?80541.44(mm3)

体积V的系统误差为：

考虑测量系统误差后的立方体体积：

又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：

故测量结果为：V??limV?77795.70?3729.1(mm)

3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、 σ3 。试求体积的标准差。

解：长方体的体积计算公式为：V?a1?a2?a3 体积的标准差应为：?V?3(?V22?V22?V22)?1?()?2?()?3 ?a1?a2?a3现可求出：

?V?V?V?a2?a3；?a1?a3；?a1?a2 ?a1?a2?a317

若：?1??2??3?? 则有：?V?(?V22?V22?V22?V2?V2?V2)?1?()?2?()?3??()?()?() ?a1?a2?a3?a1?a2?a3??(a2a3)2?(a1a3)2?(a1a2)2

若：?1??2??3 则有：?V?22(a2a3)2?12?(a1a3)2?2?(a1a2)2?3

3-4 测量某电路的电流I?22.5mA，电压U?12.6V，测量的标准差分别为

?I?0.5mA,?U?0.1V，求所耗功率P?UI及其标准差?P。

【解】若不考虑测得值的误差，则计算所耗功率为：

P?UI?12.6?22.5?10?3?0.2835W

?P?I?22.5?10?3?U且U、I完全线性相关，故P=1，所以

?P?U?12.6 ?I?P?(?P22?P22?P?P)?U?()?I?2??U?I?U?I?U?I?(22.5?10?3)20.12?12.62?(0.5?10?3)2?2?22.5?10?3?12.6?0.1?0.5?10?3 ?8.55?10?3(W)若电压、电流的测量结果相互独立，则所耗功率标准差为

?P?(?P22?P22)?U?()?I?(I?U)2?(U?I)2?U?I

?(22.5?10?3?0.1)2?(12.6?0.5?10?3)2?36.69?500625?10?3?6.69?10?3(W)23-6 已知x与y的相关系数?xy??1，试求u?x?ay的方差?u。

2【解】属于函数随机误差合成问题。

18

2

3-12 按公式V=πrh求圆柱体体积，若已知r约为2cm，h约为20cm，要使体积的相对误差等于1％，试问r和h测量时误差应为多少? 解： 若不考虑测量误差，圆柱体积为

V???r2?h?3.14?22?20?251.2cm3

根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：

?V即??V?1%?251.2?1%?2.51 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r的误差应为：

?1%

?r?

?12.511??0.007cm

?V/?r1.412?hr219