2018-2019学年安徽省示范高中高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。 选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|x2＜2x}，B={x|x﹣1＜0}，则A∩B=（ ） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（0，1） D．（1，2） 2．命题“?x0∈（1，+∞），x02+2x0+2≤0”的否定形式是（ ） A．C．
B． D．
3．cos215°）已知角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，，则α=（ ）
A．215° B．225° C．235° D．245° 4．已知的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数
单位后的单调递减区间是（ ） A．C．6．已知
，则（ ）
B．D．
是夹角为60°的两个单位向量，则“实数k=4”是“”
的最小正周期是π，则其图象向右平移个
A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2） C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）
7．设函数f（x）在（m，n）上的导函数为g（x），x∈（m，n），g（x）若的导函数小于零恒成立，则称函数f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当a≤2时，
，在x∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f（x）在（﹣1，
2）上结论正确的是（ ） A．既有极大值，也有极小值
B．有极大值，没有极小值
C．没有极大值，有极小值 D．既无极大值，也没有极小值 8．A．
B．﹣1 C．
=（ ） D．
9．设函数f（x）是二次函数，若f（x）ex的一个极值点为x=﹣1，则下列图象不可能为f（x）图象的是（ ）
A． B． C．
D．
10．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．书的第6卷19题，“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．”如果竹由下往上均匀变细（各节容量可视为等差数列），则中间剩下的两节容量是多少升（ ） A．
B．
C．
D．
11．△ABC内一点O满足A．12．曲线
B．
C．
，直线AO交BC于点D，则（ ）
D．
的一条切线l与y=x，y轴三条直线围成三角形记为△OAB，则
△OAB外接圆面积的最小值为（ ） A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知{an}是等比数列，a3=1，a7=9，则a5= ．
B． C． D．
14．计算：（﹣x）dx= ．
15．已知y=f（x+1）+2是定义域为R的奇函数，则f（e）+f（2﹣e）= ． 16．在△ABC中，则AD= ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．B，C的对边长是a，b，c公差为1的等差数列，在△ABC中，角A，且a+b=2ccosA．
，过B点作BD⊥AB交AC于点D．若AB=CD=1，
（Ⅰ）求证：C=2A； （Ⅱ）求a，b，c．
18．已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若S9=99，且a4，a7，a12成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若19．已知
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值； （Ⅱ）若
﹣m（m∈R）的零点个数．
，画出函数y=g（x）的图象，讨论y=g（x）
，证明：
．
．
20．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．
（Ⅰ）求证：a2，a8，a5成等差数列；
（Ⅱ）若等差数列{bn}满足b1=a2=1，b3=a5，求数列{an3bn}的前n项和Tn． 21．已知函数f（x）=ex+ax+b（a，b∈R）在x=ln2处的切线方程为y=x﹣2ln2． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k为差数，当x＞0时，（k﹣x）f'（x）＜x+1恒成立，求k的最大值（其中f'（x）为f（x）的导函数）． 22．已知函数f（x）=2ln（x+1）+（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证：x1+x2＞2．
﹣（m+1）x有且只有一个极值．
2017年安徽省示范高中高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|x2＜2x}，B={x|x﹣1＜0}，则A∩B=（ ） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（0，1） D．（1，2） 【考点】交集及其运算．
【分析】分别求解一元二次不等式及一元一次不等式化简集合A、B，再由交集运算得答案．
【解答】解：∵A={x|x2＜2x}=（0，2），B={x|x﹣1＜0}=（﹣∞，1）， ∴A∩B=（0，1）， 故选：C．
2．命题“?x0∈（1，+∞），x02+2x0+2≤0”的否定形式是（ ） A．C．
【考点】命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出它的否定命题即可． 【解答】解：命题“?x0∈（1，+∞），x02+2x0+2≤0”的否定形式是： “?x∈（1，+∞），x2+2x+2＞0”． 故选：A．
3．cos215°）已知角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，，则α=（ ）
B． D．
A．215° B．225° C．235° D．245° 【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】利用诱导公式，任意角的三角函数的定义，求得α的值．
【解答】解：∵角α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，cos215°）， 由三角函数定义得cosα=sin215°=cos235°，sinα=cos215°=sin235°，∴α=235°， 故选：C． 4．已知的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】设出向量的坐标，求出【解答】解：设若则（2
﹣k
）?
=（1，0），则”， =0，
）]?（1，0）=2﹣=0，
=（，
”的充要条件，判断即可． ），
是夹角为60°的两个单位向量，则“实数k=4”是“
”
故[2（1，0）﹣k（，解得：k=4， 故实数k=4”是“故选：B． 5．函数
”的充要条件，
的最小正周期是π，则其图象向右平移个
单位后的单调递减区间是（ ） A．C．
【考点】余弦函数的图象．
【分析】根据最小正周期是π，可知ω=2，求得图象向右平移再结合三角函数的性质求单调递减区间．
个单位后解析式，
B．D．
【解答】解：由函数解得：ω=2， 图象向右平移
的最小正周期是π，即，
个单位，经过平移后得到函数解析式为
，
由
解得单调递减区间为故选：B． 6．已知
（k∈Z），
．
，则（ ）
A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2） C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2） 【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值，计算f（e），f（3），f（2）的值，比较即可． 【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞）， ∵
，
∴x∈（0，e），f'（x）＞0； x∈（e，+∞），f'（x）＜0， 故x=e时，f（x）max=f（e）， 而
f（e）＞f（3）＞f（2）， 故选：D．
7．设函数f（x）在（m，n）上的导函数为g（x），x∈（m，n），g（x）若的导函数小于零恒成立，则称函数f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当a≤2时，
，在x∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f（x）在（﹣1，
，
2）上结论正确的是（ ） A．既有极大值，也有极小值
B．有极大值，没有极小值
C．没有极大值，有极小值 D．既无极大值，也没有极小值 【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】根据函数恒成立，得出m的值，利用函数单调性得出结果． 【解答】解：
，
由已知得g′（x）=x﹣a＜0，当x∈（﹣1，2）时恒成立， 故a≥2，又已知a≤2，故a=2， 此时由f′（x）=0，得：x1=2﹣当x∈（﹣1，2﹣
，x2=2+
?（﹣1，2），
，2）时，f′（x）＜0，
）时，f′（x）＞0；当x∈（2﹣
所以函数f（x）在（﹣1，2）有极大值，没有极小值， 故选：B． 8．A．
B．﹣1 C．
=（ ） D．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用“切化弦”的思想与辅助角公式结合化简即可． 【
解
答
】
解
：
故选：B．
9．设函数f（x）是二次函数，若f（x）ex的一个极值点为x=﹣1，则下列图象不可能为f（x）图象的是（ ）
A． B． C．
D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．
【解答】解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）?y′=f′（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，
由x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，
所以有a﹣（b+2a）+b+c=0?c=a．
法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣=a．
对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾， 对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾， 对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．
法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立． 故选：D．
10．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．书的第6卷19题，“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．”如果竹由下往上均匀变细（各节容量可视为等差数列），则中间剩下的两节容量是多少升（ ）
，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）
＞0?b＞0?f（﹣1）＜0，不矛盾， ＜﹣1?b＞2a?f（﹣1）＜0与原图
A．B． C． D．
【考点】等差数列的通项公式．
a2，…，a9，【分析】设九节竹自上而下分别为a1，由题意可得求出首项和公差，则答案可求．
【解答】解：由题意，设九节竹自上而下分别为a1，a2，…，a9， 则∴故选：B．
11．△ABC内一点O满足A．
B．
C．
，直线AO交BC于点D，则（ ）
D．
，
，解得
．
，
【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】由已知得能求出2
+3
=．
=，直线AO交BC于点D，
=，则
=，从而得到
=，由此
【解答】解：∵△ABC内一点O满足∴令
=
=， ，则
=，
∴B，C，E三点共线，A，O，E三点共线，∴D，E重合． ∴
=，∴2
+3
=2
﹣2
+3
﹣3
=﹣
﹣5
=．
故选：A． 12．曲线
的一条切线l与y=x，y轴三条直线围成三角形记为△OAB，则
△OAB外接圆面积的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设直线l与曲线的切点坐标为（x0，y0），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线y=x求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值．
【解答】解：设直线l与曲线的切点坐标为（x0，y0）， 函数
的导数为
．
则直线l方程为，即，
， ，
可求直线l与y=x的交点为A（2x0，2x0），与y轴的交点为在△OAB中，当且仅当x02=2
时取等号．
，
，
由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为则△OAB外接圆面积故选C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知{an}是等比数列，a3=1，a7=9，则a5= 3 ． 【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由已知结合等比数列的性质求解． 【解答】解：∵a3=1，a7=9， ∴由等比数列的性质可得：
，又
∴a5=3． 故答案为：3．
14．计算：
＞0，
（﹣x）dx= ．
【考点】定积分．
【分析】先利用定积分的几何意义计算
dx，即求被积函数y=
（﹣x）dx，问题得以解
与直线x=0，x=1所围成的图形的面积即可，再求出决．
【解答】解：由定积分的几何意义知x=1所围成的图形的面积，
即是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的， 故
dx=
（﹣x）dx=﹣∴
（
，
=
， ．
dx是由y=与直线x=0，
﹣x）dx=．
故答案为：
15．已知y=f（x+1）+2是定义域为R的奇函数，则f（e）+f（2﹣e）= ﹣4 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】y=f（x+1）+2的图象关于原点（0，0）对称，则 y=f（x）图象关于（1，﹣2）对称，即可求出f（e）+f（2﹣e）．
【解答】解：y=f（x+1）+2的图象关于原点（0，0）对称，
则y=f（x）是由y=f（x+1）+2的图象向右平移1个单位、向下平移2个单位得到，图象关于（1，﹣2）对称，f（e）+f（2﹣e）=﹣4． 故答案为﹣4．
16．在△ABC中，则AD=
．
，过B点作BD⊥AB交AC于点D．若AB=CD=1，
【考点】正弦定理．
【分析】设AD=x，由题意求出∠CBD、sin∠BDC，由正弦定理求出BC，在△ABC中由余弦定理列出方程，化简后求出x的值，可得答案．
【解答】解：设AD=x，且BD⊥AB，AB=CD=1， 在△BCD中，
，则
，
=，
且sin∠BDC=sin（π﹣∠ADB）=sin∠ADB=由正弦定理得，
，
所以BC===，
在△ABC中，由余弦定理得， AC2=AB2+BC2﹣2?AB?BCcos∠ABC 则解得x=
，即AD=
．
，
，化简得，
，
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．B，C的对边长是a，b，c公差为1的等差数列，在△ABC中，角A，且a+b=2ccosA．
（Ⅰ）求证：C=2A； （Ⅱ）求a，b，c．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由a+b=2ccosA．利用正弦定理可证C=2A．
b，c公差为1的等差数列，c=b+1，（Ⅱ）由a，得a=b﹣1，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，利用正弦定理可求a，b，c的值．
【解答】（Ⅰ）证明：由已知a+b=2ccosA及正弦定理得sinA+sinB=2sinCcosA…①，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC…②
把②代入①得：sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA， 整理得：sinA=sin（C﹣A） 又∵0＜A＜π，0＜C﹣A＜π， ∴A=C﹣A 故C=2A．
（Ⅱ）由已知得a=b﹣1，c=b+1，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA， 整理得：b+4=2（b+1）cosA①
由（Ⅰ）知C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA， 由正弦定理得c=2acosA即cosA=由①②整理得：b=5， ∴a=4，b=5，c=6．
18．已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若S9=99，且a4，a7，a12成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若
，证明：
．
=
②
【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．
【分析】（Ⅰ）由S9=99，求出a5=11，由a4，a7，a12成等比数列，求出d=2，由此能求出数列{an}的通项公式． （Ⅱ）求出裂项求和法能证明
=n（n+2），从而．
=
=
，由此利用
【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，S9=99， ∴a5=11，…
由a4，a7，a12成等比数列，得
，
即（11+2d）2=（11﹣d）（11+7d），∵d≠0，∴d=2，… ∴a1=11﹣4×2=3， 故an=2n+1 …
证明：（Ⅱ）∴
= [（1﹣）+（= [1+故 19．已知
． …
=n（n+2），==，…
）+（]=
）+…+（
，
）+（）]…
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值； （Ⅱ）若
﹣m（m∈R）的零点个数．
，画出函数y=g（x）的图象，讨论y=g（x）
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）根据f（x）=2，利用向量数量积的运算法则求解f（x）并化
简，即可求得f（x）的最小正周期和最大值 （Ⅱ）
fx）=2【解答】解：（Ⅰ）（
，利用“5点画法”画出函数y=g（x）的图象．
=2sinxcosx+2sin2x=sin2x﹣cos2x+1=
∴f（x）的最小正周期T=π； 函数f（x）的最大值为：
；
（Ⅱ）
上列表为 x ，利用“5点画法”，函数y=g（x）在区间
﹣π 0 1 ﹣1 0 0 1 2 2 1 描点作图
那么：y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数，即为函数y=g（x）与直线y=m的交点个数， 由图可知，当当当
或
时，无零点；
时，有1个零点；
时，有2个零点；
当m=2时，有3个零点．
20．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列． （Ⅰ）求证：a2，a8，a5成等差数列；
（Ⅱ）若等差数列{bn}满足b1=a2=1，b3=a5，求数列{an3bn}的前n项和Tn． 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q．当q=1时，显然S3+S6≠2S9，与已知S3，S9，S6成等差数列矛盾，1+q3=2q6，可得q≠1．由S3+S6=2S9，利用求和公式化为：即可证明a2，a8，a5成等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）1+q3=2q6，解得q3=﹣=
b1=a2=1，b3=a5=﹣，．可得bn=﹣
．可得=+，
=
=
，
再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】（Ⅰ）证明：设等比数列{an}的公比为q．
当q=1时，显然S3+S6≠2S9，与已知S3，S9，S6成等差数列矛盾， ∴q≠1．由S3+S6=2S9，可得化为：1+q3=2q6，∴a2+a5=∴a2，a8，a5成等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）1+q3=2q6，解得q3=1（舍去），q3=﹣． ∴
=
=
=
． =+
=2=2a8．
，
b1=a2=1，b3=a5=﹣，
数列{bn}的公差d=（b3﹣b1）=﹣． ∴bn=﹣故Tn=
=①﹣②得：
=﹣2﹣
解得Tn=﹣+
21．已知函数f（x）=ex+ax+b（a，b∈R）在x=ln2处的切线方程为y=x﹣2ln2． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k为差数，当x＞0时，（k﹣x）f'（x）＜x+1恒成立，求k的最大值（其中f'（x）为f（x）的导函数）．
+，
，
+
+…+
=﹣2+
﹣．
=
+
+…+
+
﹣
，
，①
②
=
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f'（ln2）=1求导a值，再由f（ln2）=﹣ln2求得b值，代入原函数的导函数，再由导函数的符号与原函数单调性间的关系确定原函数的单调区间；
（Ⅱ）把当x＞0时，（k﹣x）f'（x）＜x+1恒成立，转化为
在x＞0时
恒成立．令，利用导数求其最小值得答案．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ex+a，由已知得f'（ln2）=1，故eln2+a=1，解得a=﹣1．
又f（ln2）=﹣ln2，得eln2﹣ln2+b=﹣ln2，解得b=﹣2， ∴f（x）=ex﹣x﹣2，则f'（x）=ex﹣1，
当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0，
∴f（x）的单调区间递增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）； （Ⅱ）由已知（k﹣x）f'（x）＜x+1，及f'（x）=ex﹣1， 整理得
在x＞0时恒成立．
令，，
当x＞0时，ex＞0，ex﹣1＞0；
由（Ⅰ）知f（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上为增函数， 又f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣4＞0， ∴存在x0∈（1，2）使得
，此时
当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0 ∴
．
故整数k的最大值为2．
22．已知函数f（x）=2ln（x+1）+
﹣（m+1）x有且只有一个极值．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证：x1+x2＞2．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，根据函数有且只有一个极值，求出m的范围即可；
（Ⅱ）不妨设﹣1＜x1＜1＜x2，令g（x）=f（2﹣x）﹣f（x）（﹣1＜x＜1），根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）定义域为（﹣1，+∞），
…
即求f'（x）=0在区间（﹣1，+∞）上只有一个解， （1）当m≠0时，由f'（x）=0得x=1或则
，m＜0…
．得x=1符合题意，
，
（2）当m=0时，
综上：当m≤0时，f（x）有且只有一个极值 … （Ⅱ）由（Ⅰ）知：m≤0，x=1时f（x）有且只有一个极大值． 又f（x1）=f（x2）（x1≠x2），不妨设﹣1＜x1＜1＜x2 令g（x）=f（2﹣x）﹣f（x）（﹣1＜x＜1） gx）=2ln则（（3﹣x）﹣2ln（x+1）+2x﹣2（m+1）
所以g（x）在（﹣1，1）上为减函数，故g（x）＞g（1）=0… 即当﹣1＜x＜1时，f（2﹣x）＞f（x）．
所以f（2﹣x1）＞f（x1）=f（x2），即f（2﹣x1）＞f（x2）
由（Ⅰ）知，f（x）在（1，+∞）上为减函数，且2﹣x1＞1，x2＞1， 所以2﹣x1＜x2，故x1+x2＞2．…
2017年3月3日
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