保证定义域不变）。
例2．(2002天津文.16)设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。
必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）
答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。
点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。 题型二：奇偶性的应用 例3．（2002上海春，4）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3
（1+x），则f（－2）=____ _。 答案：－1；解：因为x≥0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（－x）=－f（x），设x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以f（－2）=－log33=－1。 点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。
例4．已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式。
解：由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑：
①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]， ∵f(x)为偶函数，
∴当x∈[－2，0]时，f(x)= f(－x)=－2x－1, ②若x∈[－4，－2)， ∴4+ x∈[0，2)， ∵f(2+x)+ f(2－x)，
∴f(x)= f(4－x)，
∴f(x)= f(－x)= f[4－（－x）]= f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7；
?2x?7综上，f(x)????2x?1(?4?x??2)(?2?x?0).
点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。 题型三：判断证明函数的单调性
ex例5．（2001天津，19）设a?0，f(x)?a?aex是R上的偶函数。
（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,??)上为增函数。
解：（1）依题意，对一切x?R，有f(?x)?f(x)，即
1ax1aex?ae?xexa?aex。
∴(a?)(e?1e)?0对一切x?R成立，则a?x1a?0，∴a??1，
∵a?0，∴a?1。
（2）(定义法)设0?x1?x2，则f(x1)?f(x2)?e?ex2x1x1x2?1ex1?1ex2
?(e?e)(1ex1?x2?1)?e(ex1x2?x1?1)1?eex2?x1x2?x1，
x2?x1由x1?0,x2?0,x2?x1?0，得x1?x2?0,e∴f(x1)?f(x2)?0，
?1?0，1?ex2?x1?0，
即f(x1)?f(x2)，∴f(x)在(0,??)上为增函数。 （导数法）∵a?1，x?(0,??)
1ex∴f?(x)?(e?x)??e?x1ex?(e)?1exx2?0
∴f(x)在(0,??)上为增函数 点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。 例6．已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+
1f(x)，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。
解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。 在R上任取x1、x2，设x1 F(x2)?F(x1)?[f(x2)?1f(x2)1f(x1)f(x2)]?[f(x1)?],1f(x1)] ?[f(x2)?f(x1)][1? ∵f(x)是R上的增函数，且f(10)=1， ∴当x<10时0< f(x)<1, 而当x>10时f(x)>1; ① 若x1 ∴F (x2)< F(x1)； ②若x2 >x1>5，则f(x2)>f(x1)>1 , ∴f(x1)f(x2)>1, ∴1?1f(x1)f(x2)>0, ∴ F(x2)> F (x1)； 综上，F (x)在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数。 点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。 题型四：函数的单调区间 例7．（2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）＝单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。 .解：在定义域内任取x1＜x2， ∴f（x1）－f（x2）＝ x?ax?b（a＞b＞0），求f（x）的 x1?ax2?b?x2?ax2?b?(x1?a)(x2?b)?(x1?b)(x2?a)(x1?b)(x2?b) ?(b?a)(x1?x2)(x1?b)(x2?b)， ∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x1－x2＜0， 只有当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时函数才单调． 当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时f（x1）－f（x2）＞0． ∴f（x）在（－b，＋∞）上是单调减函数，在（－∞，－b）上是单调减函数． 点评：本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。 2例8．（1）求函数y?log0.7(x?3x?2)的单调区间； （2）已知f(x)?8?2x?x,若g(x)?f(2?x)试确定g(x)的单调区间和单调性。 22 解：（1）函数的定义域为(??,1)?(2,??)， 分解基本函数为y?log显然y?logt、t?x?3x?2 220.70.7t在(0,??)上是单调递减的，而t?x?3x?2在(??,1),(2,??)上 分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则： 所以函数y?log0.7(x2?3x?2)在(??,1),(2,??)上分别单调递增、单调递减。 （2）解法一：函数的定义域为R， 分解基本函数为g?f(t)??t2?2x?8和t?2?t2。 显然g?f(t)??t2?2x?8在(1,??)上是单调递减的，(??,1)上单调递增； 而t?2?x2在(??,0),(0,??)上分别是单调递增和单调递减的。且 2?x?1?x??1， 2根据复合函数的单调性的规则： 所以函数的单调增区间为(??,?1),(0,1)；单调减区间为(1,??),(?1,0)。 解法二：g(x)?8?2(2?x2)?(2?x2)2??x4?2x2?8， g?(x)??4x?4x， 3 令 g?(x)?0，得x??1或0?x?1， 令 g?(x)?0，x?1或?1?x?0 ∴单调增区间为(??,?1),(0,1)；单调减区间为(1,??),(?1,0)。 点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。 题型五：单调性的应用 例9．已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。 解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)。 又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞,0)上为减函数且f(－2)=f(2)=0。 ∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ①
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