函数的基本性质考点和习题训练

由f(1)?f(4)?0得a(1?2)2?5?a(4?2)2?5?0， ∴a?2，

∴f(x)?2(x?2)2?5(1?x?4)。

③∵y?f(x)(?1?x?1)∴f(0)?0，

又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数，

∴可设f(x)?kx(0?x?1)，而f(1)?2(1?2)2?5??3， ∴k??3，∴当0?x?1时，f(x)??3x，

从而当?1?x?0时，f(x)??f(?x)??3x，故?1?x?1时，f(x)??3x。 ∴当4?x?6时，有?1?x?5?1， ∴f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15。 当6?x?9时，1?x?5?4，

∴f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]2?5?2(x?7)2?5 4?x?6??3x?15,∴f(x)??。 22(x?7)?5,6?x?9?是奇函数，

点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转

化成数字特征。

五．思维总结

1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(?x)= ?f(x)?f(?x) ?f(x)=0；

2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称

的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；

3．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是\f(0)=0\的非充分非必要条件；

4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。

5．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。

6．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”

的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。