概率统计复习试题

四． 统计推断题

1. 设总体设总体X~N(?，1)，?未知，X1,...,Xn是一个样本。

求：(1)?的最大似然估计量，(2)证明它为?的无偏估计。

2. 设总体X~N?，?2，其中?，?2是未知参数．?X1，X2，?，Xn?是从该总体中抽

??1n1n2取的一个样本，令X??Xi，Sn???Xi?X?，试证明：

ni＝1ni?1??X和??2?Sn (1). ?,?2的极大似然估计量分别为?(2). X是?的无偏估计量，但Sn却不是?2的无偏估计量

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答参考案

一、单选题

②①④②③ ③③②①④ ④③①①① ②④②③②

二、填空题

19/396； 9/64；

18； 2/3； N(?5,5)； 1n1nn?Xi， (Xi?X)2 ； i?1n?1? (5.7694,6.2306)；i?151?27； 1； 0； 7； 0.4； 16； 0； N(?,n)；

三、计算题

1．

解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B?‘任取一产品确是合格品’

则（1） P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B) ?0.9?0.95?0.1?0.02?0.857. （2） P(B|A)?P(AB)0.9P(A)??0.950.857?0.9977

2．

解：(1)归一性知???1b??f(x)dx??0axdx?1

由EX?0.75得

?10axb?1dx?0.75

?解出?a??1?b?1

?a??b?2?0.75

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1/4； 0.8664；?2?n?1? 减小； ? 则知a?3,b?2

11112(2) P{X?}??f(x)dx??23xdx?

0028

3.

解：（1）由题意知(X,Y)的联合分布律为 X Y 0 1 pi

（2）由联合分布律和边缘分布律可以求出

?1 0 0.5 0.5 1 0.25 0.25 0.5 pj 0.25 0.75 1 EX?0,DX?1,EY?0.75,DY?0.1875,EXY??0.25

?XY?

EXY?EXEY3 ??3DXDY4. （ 10 分）

解：（1）由1???????f(x,y)dxdy??0???????????0??Ae?(x?2y)dxdy

?A?0e?xdx?0e?2ydy?所以A?2.

1A 2???e?x x?0（2）X的边缘密度函数：fX(x)??f(x,y)dy??.

??其他?0,?2e?2y y?0??Y的边缘密度函数：fY(y)??f(x,y)dx??.

??0,其他?（3）因f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X，Y是独立的

5．

解：设 A为“每组有一名运动员”这一事件；

B为 “3名运动员集中在一组”这一事件。

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1010NS?C1030C20C10?30!

10!10!10!9993!C27C18C9P(A)??NS3!27!9!9!9!50

?NS20327!7!10!10! N(S)P(B)?

3CCC?NS710102720103?6．

解: (1) 1??????f(x)dx??Asinxdx?2A, ∴A=1/2,

0? (2) X的分布函数为

F(x)??x??0,x?0,??x1f(t)dt???sintdt,0?x??,

0?21x??,?0,x?0,??1 ??(1?cosx)0?x??,

?21x??,?(3) P{0≤X≤?/4}=F(?/4)-F(0)=

12? 247．

解： (1) 由题意得：

?1?1,0?x?2??,0?y?2 fY(y)??2 fX(x)??2???0,其它?0,其它又∵ X,Y相互独立

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