π
将θ＝(ρ∈R)代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0，
6得ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.
6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
ππ
(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB
63的面积．
解：(1)∵曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25， 即x2＋y2－6x－8y＝0.
∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. ππρ1，?，B?ρ2，?. (2)设A?6?3???
π
把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，
6π
4＋33，?. ∴A?6??
π
把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，
3π
3＋43，?. ∴B?3??1
∴S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB
2ππ?1
＝(4＋33)(3＋43)sin??3－6? 2253＝12＋. 4
??x＝tcos α，
7．在直角坐标系xOy中，曲线C1：?(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以
?y＝tsin α?
O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝23cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值． 解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0， 曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.
?x2＋y2－2y＝0，联立?22
?x＋y－23x＝0，
??x＝0，解得?
?y＝0?
?x＝23，或?3
y＝?2.
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和?
33?.
?2，2?(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α)．
?α－π??. 所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4?sin??3??
5π
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
6
8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的普通方程为x2＋y2＋2x－4＝0，曲线C2的方程为y2＝x，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)求曲线C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ<2π.
??x＝ρcos θ，解：(1)依题意，将?代入x2＋y2＋2x－4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.
?y＝ρsin θ???x＝ρcos θ，
将?代入y2＝x，得ρsin2θ＝cos θ. ??y＝ρsin θ
故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝cos θ. (2)将y2＝x代入x2＋y2＋2x－4＝0，得x2＋3x－4＝0，解得x＝1，x＝－4(舍去)， 当x＝1时，y＝±1，所以曲线C1与C2交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记A(1,1)，B(1，－1)，
所以ρA＝1＋1＝2，ρB＝1＋1＝2，tan θA＝1，tan θB＝－1， 因为ρ≥0,0≤θ<2π，点A在第一象限，点B在第四象限，
π7ππ7π
2，?，?2，?. 所以θA＝，θB＝，故曲线C1与C2交点的极坐标分别为?4??4??44
第二节 参数方程
一、基础知识
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数
??x＝f?t?，?并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，?y＝g?t?，?
那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的
??x＝f?t?，关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程?
??y＝g?t?.
3．直线、圆、椭圆的参数方程
?x＝x0＋tcos α，?
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为?(t为参数)．
?y＝y＋tsin α?0
直线参数方程的标准形式的应用
??x＝x0＋tcos α，
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是?若M1，M2是l上
?y＝y＋tsin α.?0
的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
①|M1M2|＝|t1－t2|.
t1＋t2
②若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|
2＝|t|＝?t1＋t2??2?.
③若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0. ④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
?x＝x0＋rcos θ，?
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为?(θ为参数)．
?y＝y＋rsin θ?0
??x＝acos φ，x2y2
(3)椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的参数方程为? (φ为参数)．
ab?y＝bsin φ?
考点一 参数方程与普通方程的互化
?x＝a－2t，?
[典例] 已知直线l的参数方程为?(t为参数)，圆C的参数方程为
?y＝－4t???x＝4cos θ，
?(θ为参数)． ?y＝4sin θ?
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． [解] (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点，
|－2a|
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
5解得－25≤a≤25. 即实数a的取值范围为[－25，25 ]． [解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法
将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin2θ＋cos2θ＝1等)．
[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解． [题组训练]
1．将下列参数方程化为普通方程．
?(1)?1
y＝?2?e－e
t
1－
x＝?et＋et?，2
－t
?
(t为参数)．
2??x＝2tanθ，
(2)?(θ为参数)． ?y＝2tan θ?
解：(1)由参数方程得et＝x＋y，et＝x－y， 所以(x＋y)(x－y)＝1，即x2－y2＝1.
2??x＝2tanθ，(2)因为曲线的参数方程为?(θ为参数)，
?y＝2tan θ?
－
①②
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