2．(2017·郑州模拟)已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|的最小值为4. (1)求a＋b的值； 1212
(2)求a＋b的最小值．
49
解：(1)因为|x＋a|＋|x－b|≥|a＋b|，所以f(x)≥|a＋b|，当且仅当(x＋a)(x－b)<0时，等号成立，又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b，所以a＋b＝4.
121212113281613?16?2162
(2)由(1)知a＋b＝4，b＝4－a，a＋b＝a＋(4－a)＝a－a＋＝?a－?＋，13?134949369936?1636121216
故当且仅当a＝，b＝时，a＋b取最小值为. 13134913
3．(2018届高三·湖南五市十校联考)设函数f(x)＝|x－1|－2|x＋a|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若不等式f(x)>0在x∈[2,3]上恒成立，求a的取值范围． 解：(1)a＝1，f(x)>1?|x－1|－2|x??－1 ? ?－x＋1－? ??x≤－1， ＋1|>1?? ?－x＋1＋? x＋ 或 x＋ ??x>1， 或? ?x－1－? x＋ 2 ?－2 3 2?2?－，故不等式f(x)>1的解集为?－2，－?. 3?3? (2)f(x)>0在x∈[2,3]上恒成立?|x－1|－2|x＋a|>0在x∈[2,3]上恒成立?|2x＋2a| 2?2? 4．(2017·宝鸡质检)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2. (1)解不等式|g(x)|<5； (2)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围． 解：(1)由||x－1|＋2|<5得－5<|x－1|＋2<5， 所以－7<|x－1|<3，解得－2 (2)因为对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝ g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2， 所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5， 所以实数a的取值范围为{a|a≥－1或a≤－5}． 5．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R. (1)当a＝1时，解不等式f(x)≥5； (2)若存在x0满足f(x0)＋|x0－2|<3，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|. 由f(x)≥5得|x－2|＋|2x＋1|≥5. 当x≥2时，不等式等价于x－2＋2x＋1≥5，解得x≥2，所以x≥2； 11 当－ 不等式等价于2－x－2x－1≥5，解得x≤－，所以x≤－. 33 ??4 故原不等式的解集为?xx≤－或x≥2?. 3?? (2)f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a－(2x－4)|＝|a＋4|，∵原命题等价于(f(x)＋|x－2|)min<3，即|a＋4|<3，∴－7 即实数a的取值范围为(－7，－1)． 6．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； ?a1?(2)设a＞－1，且当x∈?－，?时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． ?22? 解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3， －x??1则y＝?－x－2，≤x≤1， 2 ??3x－6，x＞1. ＜2}． 1－5x，x＜， 2 其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0＜x?a1?(2)当x∈?－，?时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x?22? a4?a1?∈?－，?都成立．故－≥a－2，即a≤. 23?22? 4??从而a的取值范围是?－1，?. 3?? 7．(2017·贵阳检测)已知|x＋2|＋|6－x|≥k恒成立． (1)求实数k的最大值； (2)若实数k的最大值为n，正数a，b满足解：(1)因为|x＋2|＋|6－x|≥k恒成立， 82 ＋＝n.求7a＋4b的最小值． 5a＋b2a＋3b设g(x)＝|x＋2|＋|6－x|，则g(x)min≥k. 又|x＋2|＋|6－x|≥|(x＋2)＋(6－x)|＝8，当且仅当－2≤x≤6时，g(x)min＝8， 所以k≤8，即实数k的最大值为8. 82 (2)由(1)知，n＝8，所以＋＝8， 5a＋b2a＋3b即 41 ＋＝4，又a，b均为正数， 5a＋b2a＋3b1?4＋1? 所以7a＋4b＝(7a＋4b)??4?5a＋b2a＋3b?＝1 [4 a＋b＋a＋3b?]??5a＋b＋2a＋3b? ? ? 41 1?＝?4＋1＋4?当且仅当 a＋3b5a＋b?19 ＋≥×(5＋4)＝， ?5a＋b2a＋3b?44 a＋3b5a＋b159＝，即a＝5b＝时，等号成立，所以7a＋4b的最小值是. 5a＋b2a＋3b524 ＋ 8．设a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1.求证： (1)2ab＋bc＋ca＋≤； 22 c21 a2＋c2b2＋a2c2＋b2(2)＋＋≥2. bca证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c，当且仅当 2 2 2 2 2 a＝b时等号成立． 12 所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c)≤. 222 c21 a2＋c22acb2＋a22abc2＋b22bc(2)因为≥，≥，≥， bbccaaa2＋c2b2＋a2c2＋b2 所以＋＋ bca≥? ?ac＋ab?＋?ab＋bc?＋?ac＋bc? ??????bc??ca??ba??bc? ?ca? ?ba? ?cb??ac??ab?＝a?＋?＋b?＋?＋c?＋? 1 ≥2a＋2b＋2c＝2，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立. 3
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