习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达:
(1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解 在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则
2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课 x=
M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后
曲线 L 的重心坐标为 1
f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2
证明 划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答
dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ →0 λ →0
lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1
f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2
3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1
曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案
∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n
n1 λ →0 .c o i = n1 +1
为小弧段 ds 上任一点. 网 m
(1) ∫ ( x2 + y 2 )n ds , 其中 L 为圆周 x=acos t , y=asin t (0≤t≤2π); L 解
∫L (x2 + y2)n ds = ∫0 2π 0 2π 2π
(a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt = ∫ (a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt 0 L
解 L 的方程为 y=1x (0≤x≤1); 1 ww w. kh d 1 1 0 课
= ∫ x 1+[(x2 )′]2 dx +∫ x 1+ ( x′)2 dx 0 1 后
∫L xdx = ∫L xdx + ∫L xdx 1 2
= ∫ x 1+ 4x 2 dx +∫ 2 xdx = 1 (5 5 + 6 2 1) . 0 0 12 x2 + y2 L (4) ∫ e
ds , 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x及x轴在第一象限内所围成 的扇形的整个边界; 解 L=L1+L2+L3, 其中 L1: x=x, y=0(0≤x≤a),
L2: x=a cos t, y=a sin t (0 ≤ t ≤ π ) , 4 L3: x=x, y=x (0 ≤ x ≤ 2 a) , 2 因而 ∫L e a 0 x2 + y2 ds = ∫ e
L1 x2 + y 2 ds + ∫ e L2
= ∫ e 1 + 0 dx + ∫ x 2 2 π 4 ea 0
(a sin t) + (a cos t) dt + ∫ 2 2 aw x2 + y2 答
解 L1: y=x2(0≤x≤1), L2: y=x(0≤x≤1) . 案
(3) ∫ xdx , 其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界; L 网
∫L (x + y)ds = ∫0 (x +1 x) 1
1+[(1 x)′]2 dx = ∫ ( x +1 x) 2dx = 2 . 0 ds + ∫ e L3
= ea (2 + π a) 2 . 4 .c o 1 x2 + y2
(2) ∫ (x + y)ds , 其中 L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段; ds , 0 2a 2 e 2x 12 +12 dx m
= ∫ a 2n+1dt = 2πa 2n+1 . (5) ∫ Γ
1 ds , 其中Γ为曲线x=etcos t , y=etsin t , z=et上相应于t从 0 变到 2 2 x + y +z 2
2 的这段弧; dy 解 ds = ( dx )2 + ( )2 + ( dz )2 dt dt dt dt = (et cos t et sin t)2 + (et sin t + et cos t)2 + e2t dt = 3et dt ,
2 1 1 ds = ∫ 2t ∫Γ x2 + y2 + z 2 0 e cos2 t + e2t sin 2 t + e2t 3et dt 解 Γ=AB+BC+CD, 其中
AB: x=0, y=0, z=t (0≤t≤1), CD: x=1, y=t, z=2(0≤t≤3), ww w. kh d
故 = ∫ 0dt + ∫ 0dt + ∫ 2t 02 +12 + 02 dt = 9 . 0 0 0 1 3 3
∫Γ x2 yzds = ∫AB x2 yzds + ∫BC x2 yzds + ∫CD x2 yzds
(7) ∫ y 2ds , 其中 L 为摆线的一拱 x=a(tsin t), y=a(1cos t)(0≤t≤2π); L 解 ∫L y 2ds = ∫0 2π
= 2a3 ∫ (1 cos t)2 1 cos t dt = 256 a3 . 0 15 L
(8) ∫ ( x2 + y 2 )ds , 其中 L 为曲线 x=a(cos t+t sin t), y=a(sin tt cos t)(0≤t≤2π). dy 解 ds = ( dx )2 + ( )2 dt = (at cos t)2 + (at sin t)2 dt = atdt dt dt 课
BC: x=t, y=0, z=2(0≤t≤3), 2π
a 2 (1 cos t)2 [a(t sin t)′]2 +[a(cos t)′]2 dt ∫L
( x2 + y 2 )ds = ∫ [a 2 (cos t + t sin t)2 + a 2 (sin t t cos t)2 ]atdt 0 后 2π 答
(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); aw 案
(6) ∫ x2 yzds , 其中Γ为折线 ABCD, 这里 A、B、C、D 依次为点(0, 0, 0)、 Γ 网 =∫ 2 0
3 et dt = [ 3 et ]2 = 3 (1 e 2 ) . 0 2 2 2 .c o m
= ∫ a3(1+ t 2 )tdt = 2π 2a3(1+ 2π 2 ) . 0 2π
4. 求半径为 a, 中心角为 2的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心. 解 建立坐标系如图 104 所示, 由对称性可知 y = 0 , 又 L 答
(1) I z = ∫ ( x2 + y 2 )ρ (x, y, z)ds = ∫ ( x2 + y 2 )(x2 + y 2 + z 2 )ds L 2π ww
w. kh d L L 0 课
= ∫ a 2 (a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt = 2 πa 2 a 2 + k 2 (3a 2 + 4π 2k 2 ) . 0 3 (2) M = ∫ ρ (x, y, z)ds =∫ (x2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ (a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt = 2 π a 2 + k 2 (3a 2 + 4π 2k 2 ) , 3 2π x= 1 M
∫L x(x2 + y 2 + z 2)ds = M ∫0
6πak 2 , 3a 2 + 4π 2k 2 1 2π y = 1 ∫ y( x 2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ a sin t(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 = 6πak2 2 , 3a 2 + 4π k 1 2π z = 1 ∫ z( x 2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ kt(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 2 2 3πk (a + 2π k ) , = 3a 2 + 4π 2k 2 3πk (a 2 + 2π 2k 2 ) 6 2 6 2 故重心坐标为 ( 2 πak 2 2 , 2 πak 2 2 , ). 3a + 4π k 3a + 4π k 3a 2 + 4π 2k 2 = aw 1 2π 后 案
解 ds = x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt = a 2 + k 2 dt . 网
5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为 x=acos t, y=asin t, z=kt, 其中 0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x, y, z)=x2+y2+z2, 求: (1)它关于z轴的转动惯量Iz; (2)它的重心. , 0)
a cost(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt .c o
所以圆弧的重心为 ( a sin m x=
Mx a sin = 1 ∫ xds = 1 ∫ a cosθ adθ = , M 2a L 2a ww
课 后 答 案 网 w. kh d aw .c o m
习题 102 1. 设 L 为 xOy 面内直线 x=a 上的一段, 证明: 证明 设L是直线x=a上由(a, b1)到(a, b2)的一段, 则L: x=a, y=t, t从b1变到b2. 于是 ∫L P(x, y)dx = 0 .
证明 ∫ P( x, y)dx = ∫ P( x, 0)dx . L a b
证明 L: x=x, y=0, t 从 a 变到 b, 所以 b b L
解 L: y=x2, x从 0 变到 2, 所以 ww w. kh d
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