极坐标与参数方程综合复习
一 基础知识：
1 极坐标(?,?)。逆时针旋转而成的角为正角，顺时针旋转而成的角为负角。 点P(?,?)与点P1(??,?)关于极点中心对称。 点P(?,?)与点P2(??,???)是同一个点。
2 直角坐标化为极坐标的公式：x极坐标化为直角坐标的公式：?注意：1
2??cos?;y??sin?.
?x2?y2;tan??y x??0,0???2? 2 注意?的象限。
ep
1?ecos?? ?3圆锥曲线的极坐标方程的统一形式：
e是离心率，p是对应的焦点与准线之间的距离。0?e?1时表示椭圆；e?1时表示抛物线；e?1时表示双曲线。
4平移变换公式：(x?y)?(h,k)?x`?y`
理解为：平移前点的坐标+平移向量的坐标=平移后点的坐标
x????x(??0)定义：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?：{y??u?y(u?0)
P(x,y)对到应点P(x?,y?)，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。 的作用下，点
x?x0?tcos?{(t为参数）5 过点P0(x0,y0)且倾斜角为?的直线的参数方程为 y?y0?tsin?
x?x0?rcos?{(?为参数)对应的普通方程为(x?x0)2?(y?y0)2?r2 y?y0?rsin? x?acos?x2y2椭圆??1(a?b?0)的一个参数方程为{(?为参数) y?bsin?a2b2
这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的参数方程。 22x?asec?xy? 双曲线2?2?1(a?0，b?0)的一个参数方程为{(?为参数，0???2?,??)y?btan?ab2
这是中心在原点O，焦点在x轴上的双曲线的参数方程。 x?2pt22抛物线y?2px(p?0)的一个参数方程为{(t为参数） y?2pt
这是中心在原点O，焦点在x轴正半轴上的抛物线的参数方程。
一、选择题：
1．直角坐标为（-12，5）的P点的一个极坐标是
A．(13，arctan5)
12C．(13，π+arctan5)
12
A．（-ρ，θ）
B．（-ρ，-θ）
B．(13，π-arctan5)
12D．(13，- arctan5)
12（ ） （ ）
C．（ρ，2π-θ） D．（ρ，2π+θ） （ ）
2．极坐标系中，下列各点与点P（ρ，θ）（θ≠kπ，k∈Z）关于极轴所在直线对称的是 3．已知点P的极坐标为（1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是
A．ρ=1
B．ρ=cosθ
C．ρ=-1
D．ρ=1
cos?cos?4．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 （
A．ρ=2cos(θ-?4) B．ρ=2sin(θ-
?4) C．ρ=2cos(θ-1)
D．ρ=2sin(θ-1)
5．极坐标方程ρ2
cosθ+ρ-3ρcosθ-3=0表示的曲线是 （
A．一个圆
B．两个圆
C． 两条直线 D．一个圆和一条直线
6．下列命题正确的是 （ A．过点（a，π）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρ=-a
cos?
B．已知曲线C的方程为ρ=4+2θ及M的坐标为（4，2π），M不在曲线C上
? C．过点（a，
?2）且平行于极轴的直线的极坐标方程为ρ=a sin?
D．两圆ρ=cosθ与ρ=sinθ的圆心距为2
27．曲线???x??2?2t,（t为参数）上的点与A（-2，3）的距离为
2，则该点坐标是（ ）
??y?3?2t A．（-4，5） B．（-3，4）或（-1，2）
C．（-3，4）
D．（-4，5）或（0，1）
?8．已知直线l的参数方程为??x?2t?2,(t为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极
??y??2t?1坐标系中，点P的极坐标为（-2，π），则点P到直线l的距离为 （
A．1
B．2
C．1
D．
2
22?x?4cos39．已知曲线的参数方程是???,（θ为参数），则该曲线
（ ??y?4sin3? A．关于原点、x轴、y轴都对称 B．仅关于x轴对称
C．仅关于y轴对称
D．仅关于原点对称
10．已知抛物线??x?4t2,（t为参数）的焦点为F，则点M（3，m）到F的距离|MF|为
?y?4t（ ）
） ）
）
）
）
A．1
2
B．2 C．3 D．4
（ ）
11．若关于x的方程x+px+q=0的根是sinα和cosα，则点(p，q)的轨迹为
12．设P(x，y)是曲线C：?x??2?cos?,（θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则
??y?sin?yx的取值
范围是
A．[-
（ ）
3，3]
3，3] 33B．（-∞，3）∪[
3，+∞]
C．[-D．（-∞，
33）∪[，+∞]
33二、填空题：．
??x??1?tsin,??613．已知直线的参数方程是?（t为参数），则直线的倾斜角大小是 ．
??y?2?tcos?6?14．设A、B两点的极坐标分别是（2，?），（
4是 ．
，则AB线段的两个三等分点的极坐标2，-?）
415．曲线的极坐标方程是ρ=4cos(θ-
?)，则它相应的直角坐标方程是 ． 3?3t2x?,?2?1?t16．曲线?（t为参数）的普通方程是 ． 2?y?5?t?1?t2?17.点A的直角坐标为（1，1，1），则它的球坐标为 ，柱坐标为 。
18 设点A的极坐标为（ρ1，θ1）（ρ1≠0，0<θ1<
?)，直线l经过A点，且倾斜角为α2．
（1） 证明l的极坐标方程是ρsin(θ-α)=ρ1sin(θ1-α)； （2） 若O点到l的最短距离d=ρ1，求θ1与α间的关系．
19 已知曲线???x?22cos?,（θ
??y?2sin?为参数）和定点P（4，1），过P的直线与曲线交于A、B两点，若线
段AB上的点Q使得
PAAQ=成立，求动点Q的轨迹方程． PBQB
三角函数万能公式
万能公式 (1)
(sinα)^2+(cosα)^2=1 (2)1+(tanα)^2=(secα)^2 (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
三角函数万能公式为什么万能
万能公式为： 设tan(A/2)=t
sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）
cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z）
就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.
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