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第六讲 立体几何部分
一、长方体和正方体
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S长方体?2(ab?bc?ca)； 长方体的体积：V长方体?abc．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a，那么：S正方体?6a2，V正方体?a3．
EDaGHFCcBbA二、圆柱与圆锥 立体图形 h表面积 S圆柱?侧面积?2个底面积?2πrh?2πr2 体积 V圆柱?πr2h 圆柱rhr圆锥
nπl2?πr2 360注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 S圆锥?侧面积?底面积?1V圆锥体?πr2h 3例题精讲
【例 1】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方
1体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正
21方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，
4那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
【解析】 我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：
2?2?2?8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2?2?4?16(平
11方厘米)，1?1?4?4(平方厘米)，??4?1(平方厘米)，
22111??4?(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：444118?16?4?1??29(平方厘米).
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【例 2】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成
4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？
【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数?2?增加的面数．
原正方体表面积：1?1?6?6(平方米)，一共锯了(2?1)?(3?1)?(4?1)?6次， 6?1?1?2?6?18(平方米)．
【例 3】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木
【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.
设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个3?3?3的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.
【例 4】 (2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个
正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
【解析】 (法1)四个正方体的表面积之和为：(1?2?3?5)?6?39?6?234(平方厘米)，
222212?3?(22?2?12)?(32?22?12)?(32?22?12)?3?9?14?14?40(平方厘重叠部分的面积为：
米)，
所以，所得到的多面体的表面积为：234?40?194(平方厘米)． (法2)三视图法．从前后面观察到的面积为52?32?22?38平方厘米,从左右两个面观察到的面积为52?32?34平方厘米，从上下能观察到的面积为52?25平方厘米． 表面积为?38?34?25??2?194(平方厘米)．
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【例 5】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体
图形的表面积．
【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：
2个上面?2个左面?2个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9?8?10)?2?54(平方厘米)．
上下面 左右面 前后面
【例 6】 棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小
正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?
【解析】 切割成棱长是1厘米的小正方体共有m3个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色
面的个数之比为13:12，而1所以小正方体的总数是25的倍数，即m3是25的倍数，3?122?5，那么m是5的倍数．
当m?5时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5?5?5?4?2?65个，表面没有红色的小正方体有 125?65?60个，个数比恰好是13:12，符合题意.因此，m的最小值是5．
【例 7】 有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它
们拼成一个4?4?4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使
得黑色小正方体尽量不露出来．
在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(4?2)3?8(个)，用黑色的；在面上但不在边
上的小正方体有(4?2)2?6?24(个)，其中30?8?22个用黑色．
这样，在表面的4?4?6?96个1?1的正方形中，有22个是黑色，96?22?74(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．
【例 8】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三
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个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？
【解析】 每个长方体的棱长和是288?3?96厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96?4?24厘米．因
为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米．
要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个8?7面，有8?7?56个；
涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8?7面，有8?7?2?112个；若两面相邻，应涂一个8?7面和一个9?7面，此时有7??8?9?2??105个，所以涂两面的最少有105个；
涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个8?7面、一个9?7面，有7??8?8?9?4??147个；若三面两两相邻，有?7?1???8?1???7?1???9?1???8?1???9?1??146个，所以涂三面的最少有146个．
那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56?105?146?307个．
【例 9】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个
面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？
【解析】 设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情
况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况．
当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设100?a?b，那么分成的小正方体个数为
?a?2???b?2??1?ab?2?a?b??4?2?a?b??104，为了使小正方体的个数尽量少，应使
?a?b?最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当a?b?10时它们的和最小，此时共有 ?10?2???10?2??144个小正方体．
当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是100?4?2?3?31．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令31?2?2?27，此时共有2?2?27?108个小正方体． 因为108?144，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体．
【例 10】 把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，
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要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？
【解析】 一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）．因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以
相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格．
红红红红红红红红红红红
其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）．因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）．所以，红色方格最多有5?2?4?2?2?2?22（个）． （另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明22是红色方格数的最大值．
对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：
⑴ ⑵ ⑶
⑴如图，每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有8个方格染成红色．
⑵如图，阴影部分是首尾相接由9个方格组成的环，这9个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色(如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18个方格中最多能有8个可染成红色．
⑶剩下6?3?3?8?3?9?2?12个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6个能染成红色．
综上所述，能被染成红色的方格最多能有8?8?6?22个格子能染成红色，第一种解法中已经给出22个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是最多的情况
【例 11】 一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一
个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
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