线性代数第一章习题答案

12131?a12?a12?a23?a1?abac?cdaede； （1）02； （2）1?a23?a2； （3）bd1111?a32?a33?a3bfcf?efxyx?y2?1?432141（4）yx?yx；（5）?3364； （6）

3?121．

x?yxy54?1071232?498?2506212300解 （1）012r01?r2?r3012?0． 1111111?a12?a13?a1c1?a112（2）1?a3?c122?a23?a21?a212?0． 1?a2?ac2?c1333?a31?a312?abacae?bce?bce（3）bd?cdde?adfb?cer1?r2adf002e bfcf?efbc?er3?r102c0r?bce2?r3?adf02c0?4abcdef．

002exyx?yy（4）yx?yxcx?y1?c2?c2x?2y32x?2yx?yx

x?yxy2x?2yxyr2(x?y)yx?y3?r2r0x?y 2?r10?yy?x?(2x?2y)x(y?x)?(2x?2y)y2?2(x?y)(xy?x2?y2)??2(x3?y3)．

（5）由于行列式中的第一列和第三列元素对应成比例，所以

2?1?43?336454?107?0．

?498?221412141 （6）

3?121r4?r1?r23?12112321232?0． 506200003．把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：

5

3110?5110?51?0001?1313?1313?5?241016?520013?15?710002?4?1?32?4r1?r4?1?3318?5?103?16?273?5?10?9?13001325?10717?2?24?3?19511?31r3?3r4?7r3?r43r3?r1?r41r4?r2r2?2r1000?1?5231?95?18331?1113?15?7?3?4?12?52?2416373?5?10（1）

?521； （2）

?232?51010001?5000?9?13013．

解：

3?521r2?5r1r3?2r1r4?3r1（1）

?31?1911132?3r3?5r2?r35?118?103?1?20717?2?7

?52001325?1?8r3?12r2r4?8r25

??5?1?2?(?2)?2?40．

1?95?18（2）

?232

r4?r2?17r3000??312．

4．用行列式性质证明下列等式：

ax?byay?bzaz?bxax?byb1?c1b2?c2b3?c32222az?bx33xyzxzx； y（1）ay?bzaz?bxa1?kb1ax?by?(a?b)yay?bzc1c32222zb1b2b32222a1a3c1c2； c3（2）a2?kb2a3?kb3a2222c2?a2(a?1)(b?1)(c?1)(d?1)(a?2)(b?2)(c?2)(d?2)(a?3)(b?3)(c?3)(d?3)（3）

bcd?0．

证明 （1）左边按第1列分开xayzay?bzaz?bxax?byaz?bxyay?bzaz?bxax?byaz?bxax?by ay?bzax?by?bzay?bzx6

分别再按第2列xyaz?bxxzaz?bx分开a2yzax?by?abyxax?by

zxay?bzzyay?bzyyaz?bxyzaz?bx?abzzax?by?b2zxax?by

xxay?bzxyay?bz分别再按第3列xyzxyxxzzxzx3zx?a2byy?a2分开ayzbyxx?ab2yxy

zxyzxzzyyzyzyyzyyxyzzyzx?a2bzzx?ab2zzy?ab2zxx?b3zxy

xxyxxzxyyxyzxyzyzx?a3yzx?0?0?0?0?b3zxy

zxyxyzxyzxyz?a3yzx?(?1)2b3yzx?右边． zxyzxya1?kb1b1c1b1c12）左边

c2?c3abcca11?kc22?kb221a2b2c1?右边． a3?kb3b3c3a3b3c3c2a?14a?46a?9a22?c1a2a?12624b?4c22?2c13）左边

c3?c1b2b?16b?9b22b?126c22c?14c?46c?9c3?3c14?c1cc22c?126?0．

d22d?14d?46d?9d22d?1265．计算下列n阶行列式：

123?n?1n?103?n?1n（1）?1?20?n?1n；

??????1?2?3?0n?1?2?3??(n?1)0 7

（（11a1a1?b1a1?a1bab?bbba?ba1?a2?01a2a1?a2?xa2?a2a21?120?2??2?2a2a2a2?b2?a2???bb???an?1an?1an?1?an?1?bn?1（2）1?1ab；

?（3）b?bb； ??0a2?01a??00???a3a3a2?a3?x?a3a3330??3?310220?00??363?00??????a1000?an?11???an?1an?1an?1???n?1n?1n?1?0nnn?n02n2n2n?2nn?n!．

（4）

?01a1a1a1?a1a1；

?an?11ananan?anan?1?an?x（5）．

an?2?an?1?xan?1解 （1）

?1??1?1

?(n?1)???n?12(n?1)2(n?1)?n?10ri?r10i?2,3,?,n?0011a1a1?b1a1?a1a2a2a2?b2?a2???an?1an?1an?1?an?1?bn?1（2）1?1

?8