?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)1(c?bc?b)?a(c?b)221(d2?bd?b)?a(d?b)2
=(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)．
方法二
11bbb241ccc241ddd241a1bbbb2341cccc2341dddd2341xxxx234记
aaa24构造矩阵D1?a2?D，
aa34，则D1是范德蒙德行列式，
其结果为D1?(b?a)(c?a)(c?b)(d?a)(d?b)(d?c)(x?a)(x?b)(x?c)(x?d)，其中x3的系数为?(b?a)(c?a)(c?b)(d?a)(d?b)(d?c)(a?b?c?d)．
由行列式的降阶展开法则知，D1?A15?xA25?x2A35?x3A45?x4A55，其中x3的系数
?A45?D，所以有D?(b?a)(c?a)(c?b)(d?a)(d?b)(d?c)(a?b?c?d)，即
1aaa241bbb241ccc241ddd24?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)．
（3） 用数学归纳法证明 当n?2时，D2?xa2?1x?a1?x?a1x?a2，命题成立．
2n?1n?2?a1x???an?2x?an?1, 假设对于(n?1)阶行列式命题成立，即Dn?1?x则Dn按第1列展开
?1Dn?xDn?1?an(?1)n?10?1?1????00?x00??1?xDn?1?an?右边
x?1所以，对于n阶行列式命题成立.
7．计算下列各行列式：
13
1134114121123a0b100d0a20?00c010cd001b00a3?00e00； 0a???000???an?10100?0an（1）
234； （2）00ea1112481?24?81xxx230（3）
111； （4）
0?01．
1011?302?2?20?1?1?11?3解 （1）原式
ci?c12i?2,3,4341?1?32?2?2?1?1 ?1r2?r110?32?4?2?10??4?1?1?1?16．
（2）依次按第二行、第三行、第四行降阶展开，有
abcde000e100d010c001b00?0aaeea?a?e．
22（3）由范德蒙德行列式的结果知，
1111111a100?012480a20?00?24?800a3?00xxx23?(x?1)(x?2)(x?2)(?2?1)(?2?2)(2?1)?12(x?1)(x?4)．
2 （4）依次按第2,3,?,n?1行降阶展开，有
???000???an?10100?0an?a2a3?an?1a111an?a2a3?an?1(a1an?1)．
8．计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）：
14
xy0?000xy?00(1)D0x?00n?0?????；
000?xyy00?0x1?a1a2a3?ana11?a2a3?an(2)Dn?a1a21?a3?an；
????a1a2a3?1?an(3)Dn?det(aij)，其中aij?|i?j|；
1?a11?1(4)D11?a2?1n????，其中a1a2?an?0；
11?1?anan(a?1)n?(a?n)nan?1(a?1)n?1?(a?n)n?1(5)Dn?1????；
aa?1?a?n11?1（提示：利用范德蒙德行列式的结果．）
anbn??(6)Da1b12n?c，其中未写出的元素都是０．
1d1??cndn解 （1）按第１列降阶展开，有
xy?00y0?000x?00xy?00D1n?x?????(?1)n?y?????xn?(?1)n?1yn．00?xy00?y000?0x00?xy1?a1a2a3?ana11?a2a3?an（2）Dn?a1a21?a3?an
????a1a2a3?1?an
15
1?a1ri?r1i?2,?n?1?1??1na210?0a301?0???an00 ??11?n?ai?1ia210?0a301?0???an00?c1??ci?2i00?0
?1n?1??ai?1i．
（3）aij?i?j
011012?n?21?1?1?1?n?20?2?2?2?2n?3n?22101?n?311?1?1?n?300?2?2?2n?43210?n?4111?1???????n?1n?2n?3n?4?0????????????1111?00000?n?1Dn?det(aij)?23?n?1?1?1
ri?ri?1i?1,2,?,n?1?1?1?n?1?1?1
n?4000?2?2n?5ci?c1i?2,3,?n?1?1?n?1
?(?1)n?1(n?1)2． a10a2?0?an????00?an?1?an11?11?an0?0?an（4）Dnci?cni?1,2,?,n?1
16
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