倒立摆系统的控制器设计
一、引言
支点在下，重心在上，恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
1.1 问题的提出
倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
1.2 倒立摆的控制方法
倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。
本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。
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2 直线倒立摆数学模型的建立
直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。
系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。
鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统，实验建模存在一定的困难。因此，本文通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型，可根据微分方程求解传递函数。
2.1 微分方程的推导（牛顿力学方法）
微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。做以下假设：
M小车质量 b小车摩擦系数 F加在小车上的力
m摆杆质量 I 摆杆惯量 x小车位置
?摆杆与垂直向上方向的夹角
?摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
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图2-1 直线一级倒立摆模型
系统中小车和摆杆的受力分析图是图2。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量正方向。
图2-2 小车及摆杆受力分析
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
Mx?F?bx?N
???
(2-1)
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
d2N?m2(x?lsin?)
dt
(2-2)
即：
N?mx?ml?cos??ml?sin?
?????2 (2-3)
把这个等式代入式(1)中，就得到小车运动方程（第一个运动方程）：
(M?m)x?bx?ml?cos??ml?sin??F
??????2 (2-4)
为了推出摆杆的运动方程（第二个运动方程），对摆杆垂直方向上的合力进行分析，
可以得到下面方程：
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d2P?mg?m2(lcos?)
dt (2-5)
P?mg??ml?sin??ml?cos?
力矩平衡方程如下：
?Plsin??Nlcos??I?
?????2 (2-6)
(2-7)
注意：方程中力矩的方向，由于?????,cos???cos?,sin???sin?
(6)和（3）代入(7)，约去P和N，得到摆杆运动方程（第二个运动方程）：
(I?ml)??mglsin???mlxcos?
2???? (2-8)
设?????（?是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设?与1（单位是弧度）相比很小，即???1，则可以进行线性化近似处理：
cos???1,sin????,(d?2)?0 dt用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：
?????2?(I?ml)??mgl??mlx ????????(M?m)x?bx?ml??u进行拉氏变换，得：
?(I?ml2)?(s)s2?mgl?(s)?mlX(s)s2 ?22?(M?m)X(s)s?bX(s)s?ml?(s)s?U(s) （2-9）
由于输出为角度?，求解方程组的第一个方程，可以得到：
?(I?ml2)g??(s)mls2 （2-10） ?X(s)???2??(s)，即：22X(s)(I?ml)s?mgls??ml（10）式称为摆杆角度与小车位移的传递函数 如令v?x，则有：
?(s)ml ?22V(s)(I?ml)s?mgl?? （2-11）
（11）式称为摆杆角度与小车加速度间的传递函数，由于伺服电机的速度控制易
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