安徽省宣城市八校联考2018-2019学年高二（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 某校采用系统抽样，从该校高二年级全体1000名学生中抽取一个样本做视力检查 现将这1000名学生
从1则1000进行编号，已知样本中编号最小的两个数分别是14、64，则样本中最大的编号应该为
A. 966 B. 965 C. 964 D. 963 【答案】C
【解析】解：样本间隔为 ， 共抽取 个，
则最大的编号应该为 ， 故选：C．
求出样本间隔和样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可．
本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔和样本容量，结合等差数列的公式是解决本题的关键．
2. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与
事件“乙分得红牌”是 A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 不可能事件 D. 以上都不对 【答案】B
【解析】解：根据题意，把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人， 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，
但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件． 故选：B．
由题意可知事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．
本题考查了互斥事件与对立事件，考查了互斥事件与对立事件的概念，是基础的概念题．
3. 执行如图所示的程序框图，如果输入 ，则输出
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】解：执行程序框图， ， ， ， 满足条件 ，执行循环， ， ， ； 满足条件 ，执行循环， ， ， ； 满足条件 ，执行循环， ， ， ； 满足条件 ，执行循环， ， ， ； 此时，不满足条件 ，退出循环输出S的值为 ． 故选：D．
执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k值，当 时，程序终止即可得到结论． 本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．
4. 现有一个k进制的数 ，k为其所有可能取值中最小的正整数，则 化为十进制为
A. 24 B. 23 C. 22 D. 21 【答案】B
【解析】解： 进制的数 ，k为其所有可能取值中最小的正整数， ，
． 故选：B．
由已知可求k的值，利用k进制数化为十进制数的方法即可得解．
本题考查了k进制数化为十进制数的方法，考查了计算能力，属于基础题．
5. 若集合 ， ，则“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】解： “ ” ，又 ， “ ”；反之不成立； “ ”是“ ”的充分不必要条件． 故选：A．
可以根据充要条件的定义进行判断，解题的关键是理清思路． 判断充要条件的方法是：
若 为真命题且 为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； 若 为假命题且 为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； 若 为真命题且 为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
若 为假命题且 为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
6. 在5场篮球比赛中某篮球运动员A的得分所构成的样本为21，15，17，8， 若篮球运动员B的得分
所构成的样本数据恰好是A样本数据每个都减3后所得的数据，则A，B两名运动员得分所构成的两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 标准差 【答案】D
【解析】解：A的样本数据为21，15，17，8，13；
B的样本数据恰好是A样本数据每个都减3后所得的数据，
则A样本数据比B两样本数据的平均数大3，众数大3，中位数也大3，标准差相同． 故选：D．
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根据平均数、众数、中位数和标准差的定义，结合题意，即可判断出正确的结果． 本题考查了平均数、众数、中位数和标准差的定义与应用问题，是基础题．
7. 已知双曲线的一个焦点与抛物线 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为 ，则该双曲线的标
准方程为
，则 ，
这个正三角形的边长为 故选：C．
根据抛物线的对称性可知，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，则另外两个定点关于x轴对称，就可的直线OA的倾斜角，据此求出直线OA的方程，与抛物线方程联立解出A点坐标，就可求出正三角形的边长．
本题主要考查了抛物线的对称性，直线方程的点斜式，以及曲线交点的求法，属于圆锥曲线的综合题．
10. 已知直线 与曲线 切于点 ，则b的值为
A. 3 B. C. 5 D. 【答案】A
【解析】解：把 代入直线 中，得到 ，
求导得： ，所以 ，解得 ， 把 及 代入曲线方程得： ， 则b的值为3． 故选：A．
因为 是直线与曲线的交点，所以把 代入直线方程即可求出斜率k的值，然后利用求导法则求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标 代入导函数中得到切线的斜率，让斜率等于k列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，然后把切点坐标和a的值代入曲线方程，即可求出b的值． 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．
M，N是双曲线的两顶点 若11. 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，
M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】解： ，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分 椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 双曲线与椭圆有公共焦点，
双曲线与椭圆的离心率的比值是2 故选：B．
根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值．
本题考查椭圆、双曲线的几何性质，解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍．
12. 已知函数 为自然对数的底数 有两个极值点，则实数a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：抛物线 的焦点： ，可得 ，双曲线的渐近线的倾斜角为 ，双曲线的焦点坐标在y轴上．
可得 ，即 ， ，解得 ， ．
所求双曲线方程为：
．
故选：C．
求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，求解即可． 本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
8. 下列命题中是真命题的是
A. ， B. ， C. 若 ，则 ”的逆命题 D. 若 ，则 ”的逆否命题 【答案】B
【解析】解：对于选项A，
对于 ， 为假命题． 故错误， 对于选项C：
当 时，逆命题不成立．
对于选项D：若“ ，则 ”为假命题，故逆否命题为假命题． 故选：B．
直接利用排除法和命题的真假的判断求出结果．
本题考查的知识要点：简易逻辑的应用，不等式的应用，等价命题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
9. 等边三角形OAB的三个顶点都在抛物线 上，O为坐标原点，则这个三角形的边长为
A. B. C. D. 2p 【答案】C
【解析】解： 抛物线 关于x轴对称，
若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，
则A，B点关于x轴对称， 直线OA倾斜角为
斜率为 A.
B.
C.
D.
直线OA方程为 ，
由 得， ，
【答案】A
【解析】解： ， 若函数 有两个极值点， 则 和
在 有2个交点，
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， ，
【解析】解：设等轴双曲线C的方程为 抛物线 ， ， ， ．
抛物线的准线方程为 ．
设等轴双曲线与抛物线的准线 的两个交点 ， ， 则 ， ．
将 ， 代入 ，得 ， 等轴双曲线C的方程为 ，即 的实轴长为4． 故答案为：4
设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用 ，即可求得结论． 本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
16. 若函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数，则实数k的取值范
围是______． 【答案】
【解析】解：因为 定义域为 ， 又
，由
， 令 ，则 在 递减，而 ，
故 时， ，即 ， 递增， 时， ，即 ， 递减，
故 ，
而 时， ， 时， ， 若 和 在 有2个交点， 只需 ， 故选：A．
求出函数的导数，问题转化为 和
在 个交点，根据函数的单调性求出 的范围，
从而求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 命题： ， 的否定______． 【答案】 ， ．
【解析】解： “特称命题”的否定一定是“全称命题”，
： ， 的否定是：
， ．
故答案为： ， ． 存在性命题”的否定一定是“全称命题”．
命题的否定即命题的对立面 “全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述 如“对所有的 都成立”与“至少有一个 不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．
14. 某人发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为______． 【答案】
【解析】解：在一个小时内对应的区间为 ，
若等待的时间不多于15分钟，则此时对应的时间段在 ， 则对应的概率 ， 故答案为： ．
根据几何概型的定义求出等待的时间段，进行求解即可．
本题主要考查几何概型的概率的计算，转化为长度型是解决本题的关键．
C与抛物线 的准线交于A，B两点，15. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，则C ；的实轴长为______． 【答案】4
，得 ．
据题意， ，解得
故答案为：
先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解． 本题主要考查函数的单调性与导函数的关系 属基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 现将某校高二年级某班的学业水平测试数学成绩分为 、 、 、 、 五
组，绘制而成的茎叶图、频率分布直方图如下，由于工作疏忽，茎叶图有部分被损坏，频率分布直方图也不完整，请据此解答如下问题： 注：该班同学数学成绩均在区间 内
将频率分布直方图补充完整．
该班希望组建两个数学学习互助小组，班上数学成绩最好的两位同学分别担任两组组长，将此次成绩低于60分的同学作为组员平均分到两组，即每组有一名组长和两名成绩低60分的组员，求此次考试成绩为52分、54分和98分的三名同学分到同一组的概率． 【答案】解： 由茎叶图得成绩在 中的人数为4人，
由频率分布直方图得成绩在 中的人数所点的频率为 ，
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总人数为 人，
成绩在 组的人数为 人 ， 频率分布直方图中成绩在 和 组高度分别为： 和 ， 频率分布直方图补充完整如下：
解得： ，
当 时： ， 故： ．
【解析】 直接利用函数的性质和真值表的应用求出参数的取值范围． 直接利用四个条件的应用和集合间的关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：真值表的应用，四个条件的应用，集合间的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19. 企业需为员工缴纳社会保险，缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资 单位：元 的 缴纳，
年份 t y 2014 1 270 2015 2 330 2016 3 390 2017 4 460 2018 5 550
与成绩为98分的同学同组的两名同学有如下6种可能： ， ， ， ， ， ，
此次考试成绩为52分、54分和98分的三名学生恰好分到同一组的概率为 ．
【解析】 由茎叶图得成绩在 中的人数为4人，由频率分布直方图得成绩在 中的人数所点的频率为 ，从而总人数为50人，由此能把频率分布直方图补充完整．
与成绩为98分的同学同组的两名同学有如下6种可能，由此能求出此次考试成绩为52分、54分和98分的三名学生恰好分到同一组的概率．
本题考查频率分布直方图的画法，考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18. p：关于x的方程 无解，q：
若 时，“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数a的取值范围．
当命题“若p，则q”为真命题，“若q，则p”为假命题时，求实数m的取值范围． 【答案】解： 命题p：关于x的方程 无解， 则： ， 解得： ．
命题：q： 由于 ，
故： ．
由于“ ”为真命题，“ ”为假命题， 故： 真q假 假q真，
故： ，无解． 或
某企业员工甲在2014年至2018年各年中每月所撒纳的养老保险数额 单位：元 与年份序号t的统计如下表：
求出t关于t的线性回归方程 ；
试预测2019年该员工的月平均工资为多少元？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 注：
， ，其中
【答案】解： ， ， ，
，
故 ； 由题意得： ，
故 ，
故2019年度月平均工资是 元 ．
【解析】 分别求出相关系数，求出回归方程即可； 求出t的值，代入回归方程求出y的预报值，求出平均工资即可．
本题考查了求回归方程问题，考查代入求值，是一道中档题．
20. 设抛物线C： 的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛
物线C于 ， 两点，且 ． Ⅰ 求抛物线C的标准方程；
Ⅱ 已知点 ，且 的面积为 ，求k的值．
或
解得： 或 ，
故：a的取值范围是： 或 ．
命题“若p，则q”为真命题，“若q，则p”为假命题时， 故命题p为命题q的充分不必要条件． 故：命题p表示的集合 是命题q表示的集合 的真子集．
故：
，
【答案】解： Ⅰ ， ，设直线AB的方程为 ， 分 代入抛物线，消x，得： ， 分
，从而 ，
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抛物线C的方程为 分
Ⅱ 由已知， ，直线AB的方程为 ， 代入抛物线方程，消x，得 ， ， ， 分
又 到直线AB的距离
若直线 与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有 为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解： 依题意，椭圆 ：
右焦点为 ， ，
点 在C上，
，
分
又 ， ， ， 椭圆方程为
；
故 的面积 故得 分
分
假设存在这样的点P，设 ， ，则 ，
，解得 ， 联立直线与椭圆的方程，
【解析】 Ⅰ 设直线AB的方程为 ，代入抛物线，消x，利用 ，求出p，即可求抛物线C的标准方程；
Ⅱ 求出P到直线AB的距离， ，利用 ， 的面积为 ，求k的值． 本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．
21. 已知函数 ．
求函数 的单调区间．
当 时，证明：对任意 ，都有 成立． 【答案】解： 函数 的定义域是 ，
， 所在直线方程为 ， ，同理可得 ， ，
，
或 ，
存在点P，使得无论非零实数k怎么变化，总有 为直角， 点P坐标为 或 ．
，
【解析】 根据题意，由椭圆的焦点坐标分析可得c的值，又由B在椭圆上，可得 ，由椭圆的几何性质计算可得 、 的值，即可得椭圆的方程； 假设存在这样的点P，设 ， ，联立直线与椭圆的方程，变形可得 ，
，由向量垂直与向量数量积的关系有 利用根与系数的关系用k表示 、 ，即
可得答案．
本题考查椭圆的几何性质与标准方程，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．
当 时， 对任意 恒成立， 所以，函数 在区间 单调递增；
当 时，由 得 ，由 ，得 ， 所以，函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减； 时，令 ， 则
，
，
时， ， 递减， 时， ， 递增， 故 ，
故 ，即 ．
【解析】 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
令 ，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
22. 已知椭圆 ： 的左顶点为A，右焦点为 ，点 在椭圆C上．
求椭圆C的方程；
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