∴yAB＝x+1，
设点M（a，﹣a2+2a+3），则K（a，a+1）， 则MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1） ＝﹣（a﹣）2+，
根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度， ∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK ＝MK?AH+MK?（xB﹣xH） ＝MK?（xB﹣xA） ＝××3 ＝
，
∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时， S最大＝2S△AMB最大＝2×
（3）存在点F， ∵y＝﹣x2+2x+3 ＝﹣（x﹣1）2+4， ∴对称轴为直线x＝1， 当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0）， 如图2，分别过点B，C作直线y＝
的垂线，垂足为N，H，
的距离，设F（1，
＝
，M（，
）；
抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝a），连接BF，CF， 则BF＝BN＝
﹣3＝，CF＝CH＝
，
由题意可列：，
解得，a＝，
∴F（1，）．
【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．
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