最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料选修1-2 第二章 2.2 第2课时
一、选择题
1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( ) A．有两个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 [答案] C
[解析] “最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”，因此它的反面应是“至少有两个”．
2．实数a、b、c不全为0等价于( ) A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至多有一个为0 C．a、b、c中至少有一个为0 D．a、b、c中至少有一个不为0 [答案] D
[解析] “不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．
[点评] 要与“a、b、c全不为0”加以区别，“a、b、c全不为0”是指a、b、c中没有一个为0，其否定应为“a、b、c中至少有一个为0”．
3．如果两个数之和为正数，则这两个数( ) A．一个是正数，一个是负数 C．不可能有负数 [答案] D
[解析] 两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一为0，还可以是两正，但不可能是两负．
4．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( ) A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 [答案] B
[解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m，则有l∥m，与l，m异面矛盾； 对于C，过点P与l，m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l，m
B．都是正数
D．至少有一个是正数
B．有三个内角是直角 D．没有一个内角是直角
都异面的直线不唯一．
5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于( ) A．0 1C．
2[答案] B
11
[解析] 三个数a、b、c的和为1，其平均数为，故三个数中至少有一个大于或等于.
331
假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1与已知矛盾．
3
6．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( ) 11
A．a＋>b＋
ba11
C．a＋>b＋
ab[答案] A
[解析] 可通过举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确． 二、填空题
7．“x＝0且y＝0”的否定形式为________． [答案] x≠0或y≠0
[解析] “p且q”的否定形式为“?p或?q”．
8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________． [答案] 异面
[解析] 假设AC与BD共面于平面 α，则A、C、B、D都在平面α内，∴AB?α，CD?α，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面．
9．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是________．
[答案] ①
[解析] 四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD中，可以有AB
bb＋1
B．> aa＋12a＋baD．>
a＋2bb1B．
3D．1
＝CD，AD＝BC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．
三、解答题
10．实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1. 求证：a、b、c、d中至少有一个是负数． [解析] 假设a、b、c、d都是非负数．
则1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，即ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以假设不成立．故a、b、c、d中至少有一个是负数．
[点评] 该命题中含有“至少”字样，故想到用反证法来证明，又因为已知中有ac＋bd>1这一条件，要想构造出ac＋bd，需用(a＋b)乘以(c＋d).
一、选择题
11．(2013·山东青岛二中高二期中)用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”，反证假设正确的是( )
A．假设三内角都大于60° B．假设三内角都不大于60° C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60° [答案] B
12．设a、b、c∈R，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的( )
A．充分而不必要条件 C．充要条件 [答案] C
[解析] 若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b
13．若x、y>0且x＋y>2，则
1＋y1＋x
和的值满足( ) xy
1＋y1＋x
B．和都小于2
xyD．不确定
＋
＋
B．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件
1＋y1＋x
A．和中至少有一个小于2
xy1＋y1＋xC．和都大于2
xy
[答案] A
1＋x1＋y
[解析] 假设≥2和≥2同时成立．
yx因为x>0，y>0， ∴1＋x≥2y且1＋y≥2x， 两式相加得1＋x＋1＋y≥2(x＋y)， 即x＋y≤2，这与x＋y>2相矛盾， 1＋y1＋x
因此和中至少有一个小于2.
xy14．下面的四个不等式： ①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； 1②a(1－a)≤；
4ba
③＋≥2； ab
④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 其中恒成立的有( ) A．1个 C．3个 [答案] C
[解析] ∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac， 111
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－(a－2)≤0，
442(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2 ≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2 bba
只有当＞0时，才有＋≥2成立，
aab∴应选C. 二、填空题
15．用反证法证明命题：“若a、b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是________．
[答案] 假设a≠1或b≠1
[解析] 结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”． 16．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是________．
B．2个 D．4个
[答案] 丙
[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
三、解答题
111
17已知非零实数a、b、c构成公差不为0的等差数列，求证：，，不能构成等差数abc列．
111211
[解析] 假设，，能构成等差数列，则＝＋，于是得bc＋ab＝2ac.①
abcbac而由于a、b、c构成等差数列，即2b＝a＋c.②
所以由①②两式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，这与a，b，c构成111
公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此，，不能构成等差数列．
abc
18．用反证法证明：已知a、b均为有理数，且a和b都是无理数，求证：a＋b是无理数．
[解析] 解法一：假设a＋b为有理数，令a＋b＝t， 则b＝t－a，两边平方，得b＝t2－2ta＋a， t2＋a－b
∴a＝.
2t
t2＋a－b
∵a、b、t均为有理数，∴也是有理数．
2t即a为有理数，这与已知a为无理数矛盾． 故假设不成立．
∴a＋b一定是无理数． 解法二：假设a＋b为有理数， 则(a＋b)(a－b)＝a－b. 由a>0，b>0，得a＋b>0. ∴a－b＝
a－b
. a＋b
∵a、b为有理数，即a－b为有理数． ∴
a－b
为有理数，∴a－b为有理数． a＋b
∴(a＋b)＋(a－b)为有理数，即2a为有理数． 从而a也就为有理数，这与已知a为无理数矛盾， ∴a＋b一定为无理数．
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