数 学
D单元 数列
D1 数列的概念与简单表示法
D2 等差数列及等差数列前n项和 8．D2[2016·浙江卷] 如图1-2，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An
**
＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N.(P≠Q表示点P与Q不重合)
若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
图1-2 A．{Sn}是等差数列 B．{S2n}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{d2n}是等差数列
8．A [解析] 由题意得，An是线段An－1An＋1(n≥2)的中点，Bn是线段Bn－1Bn＋1(n≥2)的中点，且线段AnAn＋1的长度都相等，线段BnBn＋1的长度都相等．过点An作高线hn，由A1作高线h2的垂线A1C1，由A2作高线h3的垂线A2C2，则h2－h1＝|A1A2|sin∠A2A1C1，h3－h2＝|A2A3|sin∠A3A2C2.而|A1A2|＝|A2A3|，∠A2A1C1＝∠A3A2C2，故h1，h2，h3成等差数列，故△AnBnBn＋1的面积构成的数列{Sn}是等差数列．
8．D2[2016·江苏卷] 已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a2S5＝10，2＝－3，则a9的值是________．
8．20 [解析] 因为S5＝5a3＝10，所以a3＝2，设其公差为d，
22
则a1＋a2解得d＝3，所以a9＝a3＋6d＝2＋18＝20. 2＝2－2d＋(2－d)＝d－6d＋6＝－3，
15．D2，D3，D4[2016·北京卷] 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3
＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
b39
15．解：(1)等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，
b23b2
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.
q设等差数列{an}的公差为d. 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27， 所以1＋13d＝27，即d＝2，
所以an＝2n－1(n＝1，2，3，?)．
－
(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n1，
－
因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n1，
从而数列{cn}的前n项和
－
Sn＝1＋3＋?＋(2n－1)＋1＋3＋?＋3n1 n（1＋2n－1）1－3n＝＋
21－33n－1
＝n＋. 2
2
17．D2，D3[2016·全国卷Ⅰ] 已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，1
b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
3
(1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和．
1
17．解：(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2，
3
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，其通项公式为an＝3n－1.
bn1
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记
33{bn}的前n项和为Sn，则
1
1－()n
331
Sn＝＝－.
122×3n－11－3
19．D2，D4，H6[2016·四川卷] 已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
y222
(2)设双曲线x－2＝1的离心率为en，且e2＝2，求e21＋e2＋?＋en. an
2
19．解：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1. 又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1， 故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．
所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，
－
从而an＝qn1.
由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2，
－
所以an＝2n1(n∈N*)．
－
(2)由(1)可知，an＝qn1，
y22（n－1）
所以双曲线x－2＝1的离心率en＝1＋a2. n＝1＋qan
2
由e2＝1＋q2＝2，解得q＝3，
－2222(n－1)
所以e2]＝n＋[1＋q2＋?＋q2(n1)]＝n＋1＋e2＋?＋en＝(1＋1)＋(1＋q)＋?＋[1＋qq2n－11n＝n＋(3－1)．
2q2－1
17．D2[2016·全国卷Ⅱ] 等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，
[2.6]＝2.
17．解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，解得a1＝1，d2＝. 5
所以{an}的通项公式为an＝2n＋3
(2)由(1)知，bn＝[].
5
2n＋3
当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1；
52n＋3
当n＝4，5时，2<<3，bn＝2；
52n＋3
当n＝6，7，8时，3≤<4，bn＝3；
52n＋3
当n＝9，10时，4<<5，bn＝4.
5
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 19．D2、D4[2016·山东卷] 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
＋
（an＋1）n1
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
（bn＋2）n19．解：(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5. 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式． 所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d. ??a1＝b1＋b2，??11＝2b1＋d，?由即? ?a2＝b2＋b3，??17＝2b1＋3d，???b1＝4，解得?
?d＝3，?
所以bn＝3n＋1.
＋
（6n＋6）n1＋
(2)由(1)知cn＝2n1. n＝3(n＋1)·（3n＋3）由Tn＝c1＋c2＋?＋cn，
＋
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋?＋(n＋1)×2n1]，
＋
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋?＋(n＋1)×2n2]， 两式作差，得
4×（1－2n）234n＋1n＋2
－Tn＝3×[2×2＋2＋2＋?＋2－(n＋1)×2]＝3×[4＋－(n＋
1－2
＋＋
1)×2n2] ＝－3n·2n2，
＋
所以Tn＝3n·2n2.
112
18．D2、D3[2016·天津卷] 已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，
a1a2a3S6＝63.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb2n}的前2n项和．
2n＋3
. 5
相关推荐：
loading