πππππ2π2π7π
所以0<α<，0<β<，则－<－α<，<＋β<，
22366336故cos?
?π－α?>0， ??6?
π?＝sin?π＋α??2π＋β?>0，即2π<2π＋β<π，cos?π－α?＝sin?π－?－α??????????所以sin??3?33?6??2?6??
?3＝sin?
?2π?3＋β??
?
，
又π3<π3＋α<5π6，所以π3＋α＝2π3＋β，即α－β＝π
3，选C.] 10.D [根据(a2
＋b2
－c2
)·(acos B＋bcos A)＝abc和余弦定理，
222222
得到(a2
＋b2
－c2
)·??a＋c－b?a×
2ac＋b×b＋c－a2bc???
＝(a2＋b2－c2
)·c＝abc， 消去c得到a2
＋b2
－4＝ab， 所以(a＋b)2－4＝3ab≤3×
a＋b2
4
，
解得0
2
解析 ∵函数f(x)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x).
又f(x＋1)为奇函数，图象关于点(0,0)对称， ∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称， ∴f(x－2)＝f(2－x)＝－f(x)， ∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)， ∴函数f(x)的周期为4， ∴f??21?2???＝f??3?
12－2??? ＝f???－32???＝－f??3?－2＋2???
＝－f??1?2???
＝－1－??1?2??2
3?
＝－2.
12.5
解析 因为f(x)＝ln x－1x，所以f′(x)＝1x＋1
x2，f′(1)＝2，即tan α＝2，
?6
1tanα＋14＋1
所以＝＝＝5. 2
sin αcos α－cosαtan α－12－1ππ13. ＋kπ，k∈Z
66解析 方法一 由f?2x＋φ＝
2
?π－x?＝f(x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝π对称，所以x＝π是?66?3?
ππ
＋kπ，k∈Z的一个解，则φ＝＋kπ，k∈Z.当k为奇数时，f(π)＝26
π??sin?2π＋＋kπ? 6??π1
＝－sin＝－，
62
π?ππ?π1????π＋＋kπf??＝sin??＝sin6＝2，与f(π)>f?2?矛盾. 6?2?????
πππ1?π?????当k为偶数时，f(π)＝sin?2π＋＋kπ?＝sin＝，f??＝sin?π＋＋kπ?
6662?2?????π1
＝－sin＝－，
62
f(π)>f??成立，又φ∈(－π，π)，所以φ＝. 2
π?π?因而f(x)＝sin?2x＋?，则当x＝＋kπ，k∈Z时，函数f(x)取得最大值. 6?6?
π?π?方法二 由f?－x?＝f(x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又函数的周期为π，
6?3?πππ?π?结合f(π)>f??可知，当x＝时，函数f(x)取得最大值，故2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
662?2?π?ππ?解得φ＝2kπ＋，k∈Z，又φ∈(－π，π)，所以φ＝，故f(x)＝sin?2x＋?，则当
6?66?
?π?
??
π6
x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值.
14.2 3＋3
11π3
解析 △ABC的面积为acsinB＝acsin＝，
2232解得ac＝2，①
由余弦定理得a＋c＝b＋2accosB π2
＝(3)＋2×2cos＝5，②
3
2
2
2
π6
7
??a＝1，
联立①②解得?
?c＝2???a＝1，
不妨取?
?c＝2，?
??a＝2，
或?
?c＝1，?
a1a＋c1＋2222
则c＝a＋b，则sinA＝＝，sinC＝1，则＝＝2，
c2sinA＋sinC1
＋12
△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋3. 15.60° 221
解析 由cos(C＋B)cos(C－B) ＝cosA－sinCsinB ＝cos(C＋B)－sinCsinB，
得cos(C＋B)[cos(C－B)－cos(C＋B)]＝－sinCsinB， 得－cosA·2sinC·sinB＝－sinCsinB， 1
即cosA＝，因为0 2所以A＝60°. 由 ＝＝＝23， sinAsinBsinC22 abc得b＋2c＝23(sinB＋2sinC) ＝23[sin B＋2sin(120°－B)] ＝23(2sinB＋3cosB) ＝221sin(B＋φ)， 其中tanφ＝ 3?π?，φ∈?0，?. 2?2? ?2π??7π?由B∈?0，?，得B＋φ∈?0，?， 3?6??? π 故当B＋φ＝时，sin(B＋φ)的最大值为1， 2所以b＋2c的最大值为221. 16.9 1 解析 因为|a|＝3，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设A(3,0)，B(x，y)， →→ 则不妨设a＝OA＝(3,0)，b＝OB＝(x，y)， 则由|a＋b|＝2|a－b|得 3＋x2 2 ＋y＝2 2 2 3－x2 ＋－y2 ，化简得(x－5)＋y＝16， 22 则点B所在的曲线方程为(x－5)＋y＝16，所以|b|max＝5＋4＝9，|b|min＝5－4＝1. 8 17.3 解析 |c－t1a－t2b|＝c＋t1a＋t2b－2t1a·c－2t2b·c＋2t1t2a·b＝13＋t1＋t2－2t1－4t2＋t1t2 ＝?t1＋ 2 2 22 22 2 2 ?? t2－2?23 2 ＋(t2－2)＋9≥9， ?2?4 当且仅当t2＝2，t1＝0时取等号， 即|c－t1a－t2b|的最小值是3. 18.解 (1)f(x)＝3sinxcosx－cosx ＝ 311 sin2x－cos2x－ 222 2 π?1?＝sin?2x－?－. 6?2? ∴T＝π，即f(x)的最小正周期为π， πππ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 262ππ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 63 ππ??∴f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z). 63?? ?π?(2)∵x∈?0，?， 2?? ππ5π ∴－≤2x－≤， 666 πππ1ππ 当2x－＝，即x＝时，f(x)取最大值，当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值 623266－1. 19.解 (1)根据正弦定理可知(a＋b)(a－b)＝c(c－b)， 整理得b＋c－a＝bc， 2 2 2 b2＋c2－a21 由余弦定理的推论得cos A＝＝， 2bc2 π ∵0 3 π22222 (2)根据余弦定理a＝b＋c－2bccos ＝b＋c－bc， 3∵b＋c≥2bc且a＝4， ∴16≥2bc－bc＝bc，即bc≤16. 2 2 9 1π3 ∴△ABC面积S＝bcsin ＝bc≤43，当且仅当b＝c＝4时等号成立. 234故△ABC面积S的最大值为43. π?133?20.解 (1)f(x)＝sin2x＋(1－cos2x)＝sin?2x－?＋. 3?222?2π 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. 2 ?π?(2)因为x∈?0，?， 2?? π?π2π? 所以2x－∈?－，?. 3?3?3 ?ππ??π2π?因为y＝sinx在?－，?上是增函数，在?，?上是减函数， 3??32??2?5π??5ππ?所以函数f(x)在?0，?上是增函数，在?，?上是减函数. 12???122? 又因为f(0)＝0，f? ?5π?＝1＋3，f?π?＝3， ??2?2?12??? ?π?所以要使得关于x的方程f(x)＝t在?0，?内有两个不相等的实数解，只需满足3≤t<1＋ 2?? 3 . 2 27222 21.解 (1)如图，连接BD，在△BCD中，BD＝BC＋CD－2BC·CDcos∠BCD＝， 100 33∴BD＝km. 10∵BC＝CD， 2π－π3π ∴∠CDB＝∠CBD＝＝， 262ππ 又∠CDE＝，∴∠BDE＝. 32∴在Rt△BDE中，BE＝BD＋DE 2 2 10
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