1．下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率，其中错误的个数为________．
解析：①错；②错，方差还有可能为0；③④正确． 答案：2
2．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________.
分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 20×5＋10×4＋30×3＋30×2＋10×1解析：x＝＝3，
100
s＝ 122222
[205－3＋104－3＋30×3－3＋30×2－3＋10×1－3] 100
＝ ＝
1
80＋10＋30＋40 100
16042
＝10＝10. 1001052
答案：10
5
3．已知样本x1，x2，…，xn的方差为2，则样本2x1＋5,2x2＋5，…，2xn＋5的方差为________．
2
解析：若数据x1，x2，…，xn的方差为s，则数据2x1＋5,2x2＋5，…，2xn＋5的方差是22
2s，故填8.
答案：8
4．甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：
甲 6 8 9 9 8 乙 10 7 7 7 9 则两人射击成绩的稳定程度是________． 解析：∵x甲＝8，x乙＝8，而s甲＝1.2，s乙＝1.6，s甲 一、填空题 1．以下4个说法：①极差与方差都反映了数据的集中程度；②方差是没有量纲的统计量；③标准差比较小时，数据比较分散；④只有两个数据时，极差是标准差的2倍． 其中正确的是________． 1 解析：①正确，④中只有两个数据时，极差等于|x1－x2|，标准差等于|x1－x2|.故①④ 2 正确． 答案：①④ 2．(2020年常州调研)已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝________. 解析：由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50， 222 ∴x＋y＝20，又由1＋1＋(x－10)＋(y－10)＝(2)×5＝10， 2 2 2 2 得x＋y－20(x＋y)＝－192， 2 (x＋y)－2xy－20(x＋y)＝－192，xy＝96. 答案：96 3．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 2则以上两组数据的方差中较小的一个s＝__________. 1 解析：由题意知：x甲＝(6＋7＋7＋8＋7)＝7， 5 1 x乙＝(6＋7＋6＋7＋9)＝7， 51222222 s2甲＝[(6－7)＋(7－7)＋(7－7)＋(8－7)＋(7－7)]＝， 551622222 s2乙＝[(6－7)＋(7－7)＋(6－7)＋(7－7)＋(9－7)]＝. 55 2222 ∵s甲 5 2答案： 5 4．(2020年高考山东卷改编)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________． 90＋90＋93＋94＋93 解析：去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为x＝＝ 5 92， 11222222 方差s＝[(92－90)＋(92－90)＋(93－92)＋(94－92)＋(93－92)]＝(4＋4＋1＋ 55 4＋1)＝2.8. 答案：92,2.8 5．样本x1，x2，x3，…，x10的平均数为5，方差为7，则3(x1－1)，3(x2－1)，…，3(x10 －1)的平均数、方差、标准差分别是________、________、________. 解析：x＝3×(5－1)＝12，s＝7×9＝63，s＝63＝37. 答案：12 63 37 6．某人5次上班途中花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________． 解析：由题意得 2 22 x＋y＋10＋11＋9 ＝10，??5 ?x－10＋y－10＋?? 2 2 10－10 5 2 ＋11－10 2 ＋9－10 2 ＝2， 即? ?? ?x＋y＝20? x－10 2 ＋y－10 ??x＝12 或? ?y＝8? 2 ＝8 . ??x＝8 解得? ?y＝12? ，则|x－y|＝4. 答案：4 7．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数x 28.5 8.8 8.8 8 方差s 3.5 3.5 2.1 8.7 则参加奥运会的最佳人选应为________． 解析：乙、丙的成绩最好，而丙的成绩比乙的成绩稳定． 答案：丙 8．若样本x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本x1＋2，x2＋2，…，xn＋2的平均数为________，方差为________． x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1 解析：∵＝10， n故x1＋x2＋…＋xn＝10n－n＝9n， 故x1＋x2＋…＋xn＋2n＝11n， x1＋2＋x2＋2＋…＋xn＋2∴＝11， n222s21＝[(x1＋1－10)＋(x2＋1－10)＋…＋(xn＋1－10)] n1 1222＝[(x1－9)＋(x2－9)＋…＋(xn－9)] nn12222＝[(x1＋2－11)＋(x2＋2－11)＋…＋(xn＋2－11)]＝s2. 故所求的平均数为11，方差为2. 答案：11 2 9．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是________． ①甲地：总体均值为3，中位数为4 ②乙地：总体均值为1，总体方差大于0 ③丙地：中位数为2，众数为3 ④丁地：总体均值为2，总体方差为3 解析：逐项验证，由0,0,0,2,4,4,4,4,4,8可知，①错；由0,0,0,0,0,0,0,0,2,8可知，②错；由0,0,1,1,2,2,3,3,3,8可知，③错；④中x＝2. ＝3. 10 2222* 即(x1－2)＋(x2－2)＋…＋(x10－2)＝30.显然(xi－2)≤30(i＝1,2，…，10)，xi∈N，即xi≤7. 答案：④ 二、解答题 10．某班40人随机平均分成两组，两组学生某次考试的分数情况如下表： 统计量 平均数 标准差 组别 第一组 90 6 第二组 80 4 则全班的平均成绩和标准差分别是多少？ 解：设第一组20名学生的成绩为x1，x2，x3，…，x20，第二组20名学生的成绩为x21，x22，…， x40.根据题意得 x1＋x2＋…＋x20x21＋x22＋…＋x40 90＝，80＝， 2020 x1－2 2 ＋x2－2 2 ＋…＋x10－2 2 x＝ x1＋x2＋…＋x4090×20＋80×20 40 ＝40 ＝85， 122222 第一组的方差s1＝(x1＋x2＋…＋x20)－90，① 20122222 第二组的方差s2＝(x21＋x22＋…＋x40)－80，② 20 由①＋②得 12222222 36＋16＝(x1＋x2＋…＋x20＋x21＋…＋x40)－(90＋80)， 2022 x21＋x2＋…＋x40∴＝7276. 4022 x21＋x2＋…＋x4022 s＝－85＝7276－7225＝51， 40 ∴s＝51. 11．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表： 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 (1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？ (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)的平均数和标准差，并判断选谁参加比赛更合适？ 解：(1)画出茎叶图如下图所示. 甲 乙 7 8 7 5 1 0 2 3 8 9 3 4 6 8 从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是均匀分布的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33，因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好． (2)用科学计算器求得x甲＝33，x乙＝33，s甲＝3.96， s乙＝3.56，故s甲＞s乙． 综合比较，选乙参加比赛较为合适． 12．为了了解中学生的身体发育情况，对某一中学的50名男生进行了身高测量，结果如下(单位：cm)： 175 168 170 176 167 181 162 173 171 177 179 172 165 157 172 173 166 177 169 181 160 163 166 177 175 174 173 174 171 171 158 170 165 175 165 174 169 163 166 166 174 172 166 172 167 172 175 161 173 167 (1)列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图； (2)计算样本平均数和标准差； (3)由样本数据估计总体中有多少数据落在区间(x－s，x＋s)内？ 解：(1)频率分布表如下： 分组 [156.5,161.5) [161.5,166.5) [166.5,171.5) [171.5,176.5) [176.5,181.5] 频数 4 11 11 18 6 频率 0.08 0.22 0.22 0.36 0.12 合计 50 1.00 频率分布直方图如上图所示． (2)由计算器可得到平均数x＝170.1 cm，标准差s≈5.6 cm. (3)因为x＝170.1，s≈5.6，所以区间(x－s，x＋s)为(164.5,175.7)．又因为样本中落在区间(164.5,175.7)内的数据有36个，所以样本数据中有72%的数据落在区间(164.5,175.7)内，因此估计总体中有72%的数据落在区间(164.5,175.7)内．
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