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例谈中考数学中的分类讨论

近年來，在各地中考试卷中涉及“分类讨论”的问题非常普遍.

利用分类讨论思想解决问题时，必须保证分类科学，标准统一，做到不重复，不遗漏, 并力求最简.

下面就中考题精选几例供大家参考. 一、由图形位置的不确定性引起的分类讨论

例1如图1,射线QN与等边AABC的两边AB, BC分别交于点M, N,且AC〃 QN,

AM=MB=2cm, QM=4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒lcm的速度向 右移动，经过t秒，以点P为圆心，V3cm为半径的圆与AABC的边相切（切点在边上）, 请写出t可収的一

切值 ________________________ .

4

C

B 图1

分析 此类题目是由于图形位置的不断变化而引起的分类讨论.本题屮，rh于点的运 动引起OP与AABC的边相切的位置也在不断变化，从而需要分类讨论.

解 V A ABC是等边三角形，

???AB = AC = BC = AM + MB=4.

ZA=ZC=ZB = 60° .

???QN〃AC, AM = BM, ??.N为BC中点， /. MN= — AC=2,

2

ZBMN=ZBNM = ZC=ZA = 60° .

分为三种情况：

① 如图2,当OP切AB于点M*时，连结PM',则PM，=J5, ZPMM=90° .

VZPMM,= ZBMN = 60° , ???M'M=1, PM = 2MM'=2, ???QP=4-2 = 2,即 t=2.

图2

② 如图3,当OP与AC切于A点吋，连结PA,则

ZCAP=ZAPM = 90° , ZPMA=ZBMN=60° , AP=能，

???PM=1, ???QP=4—1=3,即t=3?

当OP与AC切于C点时，连结PC,则 ZCPfN=ZACP = 90° ,

图3

ZPNC=ZBNM=60° , CP=V^, ???PN=1, ???QP=4+2+l=7, 即当3WtW7时，OP和AC边相切.

③ 如图4,当OP切BC于点N时,连结PN',则PN*= y/3 , ZPNN=90° .

VZPNN,= ZBNM = 60° ,

???NN=1. PN=2NN' = 2? ???QP=4+2 + 2=8,即 t=8.

故答案为：t=2,或3WtW7,或t=8.

点评 本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角 三角

形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进 行分类讨论.难度不大.

二、由于求解过程不便统一表述，故需进行分类讨论

例2在厶ABC中，AB = 2V2 , BC=1, ZABC=45° ,以AB为一边作等腰直角三 角形ABD,使ZABD=90° ,连结CD,则线段CD的长为 _______________________ .

分析 此类问题一般结果是两个以上，其题干表述就注定了它的多解特征，要结合题 意画出图形逐个判断，做到不重不漏.本题中分点A、D在BC的两侧或同侧，两种情形 讨论.

解①如图5,点A、D在BC的两侧.

VAABD是等腰直角三角形，

???AD = J2A.B二Q x 2近=4?

???厶 ABC = 45°,

■ BE = DE = ~AD =亠 x 4 = 2,

2 2 '

BE 丄 AD. ??? BC = 1 ,.?? CE = BE-BC = 2-1 在 RtACDE 中， CD = VCE2 + DE2

=/l2 +22 = 75；

②如图6,点A、D在BC的同侧，

E B C

VAABD是等腰直角三角形， ???BD=AB=2血?

过点D作DE丄BC,交BC的反向延长线于点E,则ABDE是等腰直角三角形, ???DE = BE

二咚*2近=2.

又??? BC 二 1 ,CE = BE + BC = 2 + 1 =3. 在 RtACDE 中，

CD =丿両 +。衣=/32 +2\二 /B.

综上所述，线段CD的长为或.

点评 本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，难点在于要分情况讨论，作出 图形更形象直观.

三、由动点位置的不确定性引起的分类讨论

例3如图7,直线y= —?x+4与坐标轴分别交于点A> B,与直线y=x交于点C.在 线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A作匀速运动，同时动 点P从点A出发向点0作匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动, 分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、0C于点E、F,连结EF.若运动时间为t秒, 在运动过程中四边形

PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).

(1) 点P运动的速度是多少？

(2) 当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

(3) 当t为多少秒吋，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值.

图7

分析 此题中，点运动的不确定性需要分类讨论?此题的关键在于讨论当Q在P点的 左边、右边时，矩形PEFQ成为正方形的条件，要谨防漏解.

解(I)：?直线y=—丄x+4与坐标轴分别交于点A、B,

.*.x=0 时，y=4, y=0 时，x = 8, ? 30 ? 40 5 4 一 8 ... H .1 1 2 ??? EP // BO,:

当/秒时,Q0 = FQ = t,则 EP = t.

???动点Q以每秒OB EP

AO AP 1个单位长度的速度从点O出发向点A作匀速运动， 速度是每秒2个单位长度.

(2) 如图8,当Q在P点的左边，且PQ = PE时，矩形PEFQ为正方形.

???0Q=FQ = t, PA=2t, ???QP=8_t_2t=8_3t, /.8 —3t=t,解得 t=2.

同理，当Q在P点的右边，且PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形.

VOQ=t, PA = 2t, ???OP=8—图2t, ???QP=t_(8_2t)=3t_8,

8 t - 3t - 8,解得 t = 4.

(3) 如图7,当Q在P点的左边时， */ 0Q - tyPA = 2ty /. QP - 8 - r - 2? = 8 - ,

S矩形PEFQ = QP ? QF

=(8 - 3t)t = 8t - 3『?

S魁形PEFQ的最大值为: 4x(-3) xO - F = 16

4x(-3) = T;

如图8,当Q在P点的右边时, T OQ = tyPA = 2ty

p运动的???点

??? 2? > 8 - /,??? t > —,

8

/. QP = f-(8-2z) = 3t - 8, s矩形MFQ = QP ? QE =⑶-8)t

=3『- &?

???当点P、Q其中一点停止运动时，另一 点也停止运动，

8 当…

2； (-3)

S矩形PEFQ的值最小，

= 4 B寸,S^PEFQ的最大值为:

3 x 42 - 8 x 4 - 16.

综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为16?

点评此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，找出P, Q不同的位置进行 分类讨论得出是解题关键.

四、由图形形状的不确定性引起的分类讨论

例4如图9,在平面直角坐标系屮，四边形ABCD是梯形，AB〃CD，点B(10, 0),

C(7, 4).直线/经过A, D两点，且sinZDAB= —,动点P在线段AB上从点A出发

2

以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B -C-D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A\—C相交于点M, 当P, Q两点屮有一点到达终点时，另一点也随Z停止运动.设点P，Q运动的时间为t 秒(t>0), MPQ的面积为S?

(1) 点A的坐标为( ______ ),直线/的解析式为 _________ ；

(2) 试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围； (3) 试求⑵中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；

(4) 随着P, Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线/相 交于

点N,试探究：当I为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值.

分析 此类题目由于点的运动使图形形状不断发生变化，此题由于点P、Q运动到不 同位置使

AMPQ的形状不断变化，要根据点运动到不同区间分类讨论，第(2)问中，需耍 弄清动点的运

动过程，第(3)问需根据第(2)问屮求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计

算，最终确定S的最大值；第(4)问△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论. 解⑴

?.?C(7, 4), AB〃CD,

???D(0, 4).

V sinZD/IB =乎，??? /_DAB = 45°,

???OA = OD二4,???4( -4,0)?

设直线2的解析式为厅=躲 + b,则有

{

h = 4 ' 解得 k = 1,6 =4.

一 4k + b 二 0.

r = ? +4,??.点\坐标为(-4,0),

直线z的解析式为：y = X + 4.

(2)在点P、Q运动的过程屮：

① 当0VW1时，如图10所示.

过点C作CF±x轴于点F,则CF=4, BF=10—7=3,由勾股定理得BC = 5. 过点Q作QE丄x轴于点E,则 BE = BQcosZCBF

=5t = 3t, .?.PE = PB - BE =(14 -2t) -3t =14 -5tf S = yPAfPE

二 * x x (14 - 5f)

= -5t2 + 14/；

② 当1 vtW2吋，如答图11所示，

过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F, E,则

CQ=5t-5,

PE=AF—AP—EF =11-2t- (5t-5) = 16-7t, S=-PM ? PE

2 = lx2tx(16—7t) ——7t2 + 16t；

③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD = 7,即

(2t-4) + (5t-5) =7,

解得埒

当2

S = ￡ PMMQ

= -|x4x(16—7t) = — 14t+32. (3)①当OvWl时, S = -5t2+14t

7 ???a=—5vO,抛物线开口向下，对称轴为直线f =丄

5

???当OvtWl时，S随t的增大而增大，

???当1=1时，S有最大值，最大值为9； ②当lvtW2吋，

S = -7t2+16t =_7叶与+里.

7

7

O

Va=-7<0,抛物线开口向下，对称轴为直线

???当t=3时，s有最大值，最大值为里；

7 7 ③ 当2

S = -14t+32.

7

Vk=-14<0.

???S随t的增大而减小.

又???当t=2时,S=4； 当1=匹时，s=0, 0

7

综上所述，当时，S有最大值，最大值为聖.

7

(4) AQMN为等腰三角形，有两种情形：

7

①如图13所示，点M在线段CD上,

MQ=CD-DM-CQ =7- (2t-4) 一 (5t-5) = 16-7t.

MN = DM = 2l-4. 由MN = MQ,得 16-7t=2t-4.

20

解得t=学;

9

②如图4所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D,此时△QMN为等 12 腰三角形，(=〒?

5 2() 12

故当t=晋或时，^QMN为等腰三角形.

点评本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题关键是对动点运动过程有清晰的 理解，第(3)问中，考查了指定区间上的函数极值，增加了试题的难度；另外，分类讨论的 思想贯穿

(2)-(4)问始终，是分类讨论典型题目，同学们需要认真理解并熟练掌握.