Lagrange多项式插值及其应用

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Lagrange多项式插值及其应用

作者：江楚萌

来源：《中国科技纵横》2018年第20期

摘 要：本文围绕Lagrange多项式插值进行论述，介绍了Lagrange插值方法的原理，给出了Lagrange插值在高中数学知识解题中的一些有趣应用，并结合MATLAB算法对某动态系统的实例进行了研究。

关键词：多项式；Lagrange插值；MATLAB算法

中图分类号：O174.42 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）20-0253-02 1 引言与预备知识

不论在数学学科的数值计算中，还是在工程领域的生产实践中，许多问题都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解，给不出精确的表达式，或者函数的表达式过于复杂不利于计算；如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值；这时我们就需要构造这个函数的近似函数，数学上称这种方法为插值[1-2]。插值法作为数值微分、函数逼近及微分方程数值解的基础，在当今社会越来越受学者们的关注[3-4]。尤其是随着计算机的普及，很多研究工作者将插值法与MATLAB等软件结合，使得插值法在超大规模数值计算中得到了更广泛的应用。

插值问题概述：设函数在区间有个不同点，且对应的函数值，在函数类中寻找一函数作为的近似表达式，使满足：

这时称为被插值函数，称为插值函数，称为插值点，简称节点，称为插值区间。寻找插值函数的方法称为插值方法。

常用的插值方法有：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值和三次样条插值等。本文主要围绕Lagrange插值进行论述，从Lagrange插值原理的特点出发，给出了该方法在高中数学知识中有趣的一些应用，并结合MATLAB算法对某动态系统的实例进行了研究。 2 Lagrange插值公式

插值函数的构造，会因选择函数类的不同，相应地会采用不同的插值方法。由于多项式函数具有结构简单等一些良好的特征，譬如多项式是无穷光滑的，其导数及积分较容易计算。故本文围绕多项式插值进行论述，多项式插值的基本问题是：求一个至多次的多项式： 使其在给定点处与同值，即满足插值条件：